平面上任给五个相异的点，它们之间的最大距离与最小距离之比为λ，求证：λ≥2sin54°及等号成立的充要条

Question

会的 能直接写出来的就请帮帮忙了~不会的就算了吧 这道题出自“两角和与差的三角函数”

Answer 1

这个是高中练习题?有点难度

看附件图片，设A,B,C,D,E是平面上不同的5个点，设两点间最远距离dmax,最近距离dmin,作点集的凸包，分情况讨论:

1.凸包上有3个点，如图1所示，那么有一点P在三角形ABC内

根据抽屉原理，∠APB,∠BPC,∠CPA中至少有一个≥120,不妨∠APB≥120,设∠PAB=α,∠PBA=β,α+β≤60,由正弦定理:

AB/sin(α+β)=PA/sinβ=PB/sinα=(PA+PB)/(sinα+sinβ)

即

AB/2sin(α+β)/2cos(α+β)/2=(PA+PB)/2sin(α+β)/2cos(α-β)/2

那么

AB/cos(α+β)/2≥2dmin

即dmax≥AB≥2dmin*cos(α+β)/2≥2dmin*√3/2=√3>2sin54

即dmax/dmin>2sin54

且等号取不到

2.凸包上有4个点，如图2所示，那么有一点P在凸四边形ABCD内

(1)若∠APB,∠BPC,∠CPD,∠DPA中有一个角>108度，不妨设∠APB>108度,设∠PAB=α,∠PBA=β,α+β<72

那么dmax≥AB≥2dmin*cos(α+β)/2>2dmin*cos36=2dmin*sin54

即dmax/dmin>2sin54,等号取不到

(2)若这四个角都≤108,那么∠BPD≥360-108*2=144,设∠PBD=α,∠PDB=β,α+β<36

dmax≥BD≥2dmin*cos(α+β)/2>2dmin*cos18>2dmin*sin54

即dmax/dmin>2sin54,等号取不到

3.凸包上有5个点，即ABCDE是凸五边形

那么∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEA,∠EAB中至少有一个≥108度，不妨∠ABC≥108,设∠ABC=α,∠ACB=β,α+β≤72

那么dmax≥2dmin*cos(α+β)/2≥2cos36=2sin54

等号成立当且仅当ABCDE是正五边形

综合1,2,3,λ≥2sin54始终成立，等号成立的充要条件是五个点是正五边形的顶点