设f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)若|f(0)|≤ 1,|f(1)|≤ 1, |f(-1)|<=1.试证明对于任意-1≤x≤1,有|fx|<5/4

Question

详细证明。谢谢谢谢

Answer 1

∵f(0)=c
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
把它们代入到函数表达式里，再化简，得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+
|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2
当x≤0时，|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2-x+1≤5/4
当x>0时，|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2+x+1≤5/4.
综上所述，|f(x)|≤5/4.
我算的是可以取等号，就好像x=-1/2,f(1)=-1,f(0)=f(-1)=1时就可以.

Answer 2

直接用不等式证明是很困难的，如果掌握了二次函数图像的特点就容易很多了，解答过程不好写，我用word做出后截屏见图片

Answer 3

这题要把a，b，c用f(0)，f(1)，f(-1)表示出来
解得a=1/2(f(1)+f(-1)-2f(0))
b=1/2(f(1)-f(-1))
c=f(0)
带进去表示整理成关于f(1),f(-1),f(0)的式子，就是
f(x)=(1-x^2)f(0)+1/2(x^2+x)f(1)+1/2(x^2-x)f(-1)
所以|f(x)|<|f(0)||（1-x^2)|+1/2|x^2+x||f(1)|+1/2|x^2-x||f(-1)|
<1×1+1/2×1/4×1+1/2×1/4×1=5/4
大概过程就是这样，你具体自己写写吧

Answer 4

∵f(0)=c
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
把它们代入到函数表达式里，再化简，得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+
|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2
当x≤0时，|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2-x+1≤5/4
当x>0时，|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2+x+1≤5/4.
综上所述，|f(x)|≤5/4.
不用取特殊值，用配方法球最值就可以了。。。谢谢点拨

Answer 5

f(x)|≤5/4