二重积分极坐标变换后的积分上下限是怎么？

Question

二重积分区域D={(X,Y)/ /y/<=/x/,/x/<=1}斜线是绝对值，Y的绝对值小于等于X的绝对值，X的绝对值小于等于1 用极坐标x=rsina y=rcosa 变换后的积分上下限是什么？ 我想要的是过程 不只是答案 说的清楚点 拜托大家了！

Answer 1

（1）那块D的形状很容易画出来的，就是左右各一个三角形，像一只蝴蝶一样的形状，我就不多说了。
（2）极坐标变换之后，先看辐角t的范围，很简单，t有两个区间：-π/4<=t<=π/4和3π/4<=t<=5π/4。
（3）关键是看半径r的上下限，这个比较讨厌的。
对于右边那个三角形（-π/4<=t<=π/4），r的下界当然是0。求上界其实就是线段x=1（-1<=y<=1）怎么用半径r和辐角t来表示的问题。我们在该线段上任取一点，可以知道，他到原点的距离就是1/cost。所以线段x=1（-1<=y<=1）用r和t表示就是r=1/cost （-π/4<=t<=π/4)。
因此对于右边那个区域：
积分为
∫{-π/4到π/4}dt ∫{0到1/cost} f(t,r)dr

同样的，对于左边的那个三角形（3π/4<=t<=5π/4）积分为：
∫{5π/4到3π/4}dt ∫{0到-1/cost} f(t,r)dr

Answer 2

你把这个x,y的极坐标代进积分区域的条件，再结合图形就可以得到了。

Answer 3

先看看区域内x,y所在象限
一般都可以根据这个确定a所在的象限(sina>0,或有cosa>0)
|x|<=1
|r|<=1
所以第一重积分是对r的积分，上下限0和1
再求|rcosa|<=|rsina|中a的取值范围
|cosa|<=|sina|
π/4<=a<=3π/4或5π/4<=a<=7π/4，再结合a所在的象限，确定a的最大和最小值，也就是第二重积分的上下限

Answer 4

画出图来，看角度的变化范围，然后看R的变化范围，就是二重积分的上下限了，