求一道高中数学题答案

Question

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Answer 1

若0<ω≦1，向量a=(cosωx，(√3)cosωx)；向量b=(sinωx，cosωx)；记f(x)=a•b-(√3/2)，
且f(x+π)=f(x)，(1)。求f(x)的解析式；(2)。若关于x的方程3[f(x)]²+mf(x)-1=0在[-π/12，5π/12]
上有三个不相等的实数根，求m的取值范围。
解：(1)。f(x)=sinωxcosωx+(√3)cos²Ï‰x-(√3/2)=(1/2)sin2ωx+(√3/2)(1+cos2ωx)-(√3/2)
=(1/2)sin2ωx+(√3/2)cos2ωx=sin2ωxcos(π/3)+cos2ωxsin(π/3)=sin(2ωx+π/3)；
由f(x+π)=sin[2ω(x+π)+π/3]=sin(2ωx+2ωπ+π/3)=f(x)=sin(2ωx+π/3)，及0<ω≦1可知ω=1；
于是得解析式为f(x)=sin(2x+π/3)；
(2)。设F(x)=3[f(x)]²+mf(x)-1=3sin²(2x+π/3)+msin(2x+π/3)-1
要求方程F(x)=0在[-π/12，5π/12]上有三个不相等的实数根；设2x+π/3=t；
则F(t)=3sin²t+msint-1；不难推得，当-π/12≦x≦5π/12时，π/6≦t≦π+π/6；
注意几个关键的点：F(π/6)=(m/2)-1/4；F(π/2)=m+2；F(π)=-1；F(π+π/6)=-(m/2)-1/4；
于是问题演变为要使F(t)=3sin²t+msint-1=0在π/6≦t≦π+π/6有三个不等的实数根，必须使：
F(π/6)=(m/2)-1/4≦0，即m≦1/2...........①；
F(π+π/6)=-(m/2)-1/4≧0,即m≦-1/2.......②；
F(π/2)=m+2>0，即m>-2；....................③，
①∩②∩③={m∣-2<m≦-1/2}.这就是m的取值范围。

Answer 2

 

 

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