把边长为 a 的等边三角形铁皮如图（1）剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖

Question

把边长为 a 的等边三角形铁皮如图（1）剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图（2），设容器的高为 x ，容积为 。（Ⅰ）写出函数 的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当 x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积。

Answer 1

（Ⅰ）      （Ⅱ）当正三棱柱形容器高为 时，容器的容积最大为

（Ⅰ）因为容器的高为 x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为 ----2分. 则    .  -------------5分 函数的定义域为 .    ----------------6分 （Ⅱ）实际问题归结为求函数 在区间 上的最大值点. 先求 的极值点. 在开区间 内， -------------8分 令 ，即令 ，解得 . 因为 在区间 内， 可能是极值点. 当 时， ； 当 时， .          -----11分 因此 是极大值点，且在区间 内， 是唯一的极值点，所以 是 的最大值点，并且最大值    即当正三棱柱形容器高为 时，容器的容积最大为 .------14分