高一数学难题解答

Question

tanα=1/3 tanβ=（√5）/5
求f(x)=（√2）sin(x-α)+cos(x+β）的最大值

Answer 1

由tanα=1/3 tanβ=（√5）/5
得sinα=3√10/10,cosα=√10/10或sinα=-3√10/10，cosα=-√10/10；
sinβ=√6/6,cosβ=√30/6或sinβ=-√6/6,cosβ=-√30/6。
f(x)=（√2）sin(x-α)+cos(x+β）
=(√2)sinxcosα-(√2)cosxsinα+cosxcosβ-sinxsinβ
=[(√2)cosα-sinβ]sinx-[(√2)sinα-cosβ]cosx。
设f(x)=（√2）sin(x-α)+cos(x+β）的最大值为t,则
t^2=[(√2)cosα-sinβ]^2+[(√2)sinα-cosβ]^2
=2+1-2(√2)(sinαcosβ+cosαsinβ)
=3+2(√2)(√3/2+√15/30)
=3+√6+√30/15。
所以，f(x)=（√2）sin(x-α)+cos(x+β）的最大值为
√(3+√6+√30/15)。(当且仅当α位于第一象限，而β位于第四象限或α位于第四象限，而β位于第一象限时取得)。