如何判断高数中的间断点？

Question

如题所述

Answer 1

在高数中,某个间断点一般不是第一类就是第二类.
只需要比较一下函数在该间断点的左右极限就可以了.
如果左极限=右极限则为可去间断点,若不相等则为跳跃间断点；若左右极限中至少有一个为无穷大（不存在）,则为无穷间断点,至于震荡间断点只有正弦函数余弦函数那种形式和一些周期函数（初等函数）.

可去间断点存在左右极限且相等，跳跃间断点存在左右极限但不相等。可去间断点左右极限应趋向于一处，跳跃间断点图像趋向于两处。

可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数，是左极限和右极限存在但是该点没有定义又称为可补间断点。可去间断点就是左极限=右极限，但是不=该点的函数值，或者在该点没有定义。因此，可去间断点是不连续的。如果=f(a), a就是可去间断点。

设函数f(x)在U(Xo)内有定义，Xo是函数f(x)的间断点(使函数不连续的点)，那么如果左极限f(x-)与右极限f(x+)都存在，但f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点，它属于第一间断点。

常见类型：

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点（有限型间断点）。其它间断点称为第二类间断点。