请问，圆锥体积等于底乘高的三分之一是怎么证明的？

Question

为什么是三分之一，而不是其他？
一楼二楼的，你们有没有简单的方法，我才初中！
三楼四楼的，你们知道什么叫做“证明”吗？你们那个只叫做试验，小学我做过的！

Answer 1

初中的话可以用类似于微积分的方法证明。
设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3

而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。

Answer 2

是约等于1/3，我学的时候，老师拿出等底等高的一个圆锥和一个圆柱器皿。先往圆锥器皿中装水，再倒入圆柱器皿中，看水高是否是圆锥器皿高的1/3。这样就证明了。

Answer 3

中学生也可以证明的， 就是用楼上说的祖搄方法。实际上就是把圆锥的每个截面（是个圆）替换成面积相同的多边形（比如三角形），这些多边形一层层叠加起来就是一个多棱锥。 多棱锥的计算是简单的。

实际上不管什么方法，说到底，就是微积分的思想。

Answer 4

严格的证明方法之一可以用微积分证明 把圆锥微分成无限个小圆柱再积分

Answer 5

小学的时候是用实验证明的
高中的时候是用祖搄（日字旁，gen，祖冲之儿子）原理证明的，
大学里可以用微积分证明