在很多个世纪以前的古亚历山大，一位老人埋葬了自己的儿子。这位心碎的老人为了转移自己的悲伤，开始整理大量的代数问题，并将这些问题及其解法汇编成书，取名《算术》（Arithmetica）。这些就是人们对亚历山大的丢番图几乎所有的了解，而这些了解绝大多数来自其好友在他去世后不久所写的一个谜题：
1、墓志铭
行人啊，请稍驻足
这里埋葬着丢番图
上帝给予的童年占六分之一
再过十二分之一
两颊长胡
又过了七分之一
点燃起结婚的蜡烛
五年之后天赐贵子
可怜迟到的宁馨儿
享年仅及其父之半
便进入冰冷的墓
悲伤只有用数论的研究去弥补
又过四年
他也走完了人生的旅途
我在沉思！
墓志铭中提到丢番图的岁数，大伙能算出来吗？
这篇墓志铭对丢番图儿子的死亡说得不是很清楚。其中提到，他只活到了“父亲岁数的一半”，但这是指儿子死时父亲年龄的一半，还是指他父亲寿命的一半？不论怎样理解，都可以解答。但如果是后一种理解“只活到他父亲寿命的一半”，我们得出的岁数会是一个漂亮而又简洁的整数。
我们假设丢番图的寿命为x。丢番图生命中每个时期的年数要么是他寿命的几分之几（例如，x除以6是他的童年时光），要么是一个整数（例如，从他结婚到儿子出生有5年的时光）。丢番图生命中所有时期的年份之和为x，所以这个谜题可以用下面这个简单的代数式来表示：
所有分母的最小公倍数是84，将等号两边同时乘以84得到：
14x + 7x +12x + 420 + 42x + 336 = 84x
分别整理带有x的项和常数项，得到：
84x - 14x - 7x -12x - 42x = 420 + 336
即：
9x = 756
方程的解是：
x = 84
所以，丢番图的童年时光是14年，7年后他长大成人。又过了12年，在33岁的时候，他结了婚，5年后有了儿子。儿子死于42岁，丢番图当时80岁，4年后丢番图去世。
事实上，有一个更快捷的方法来解这个谜题：如果深入探索出题人的内心想法，你就会发现他并不想用分数来增加麻烦。丢番图寿命的“十二分之一”和“七分之一”必然是整数，所以他的寿命年数一定可以被7和12整除（自然也会被2和6整除）。只需将12乘以7就能得到84。这个看起来也像是合适的高龄岁数，所以它极有可能是对的。
聪明的你们，算出来了吧！
2、生平
事实上，对于丢番图的生平事迹，知道得很少。仅能根据一些史料记载推算：
丢番图去世时也许是84岁，但是对于历史来说，更重要的问题是找到具体时间。人们曾经猜测，丢番图的时代是在公元前150年到公元280年之间，那是一个令人向往的时期。这样的话，丢番图就活在欧几里得（活跃在约公元前295年）和埃拉托色尼（约公元前276—前195年）等早期亚历山大数学家们之后，这也说明他与亚历山大的海伦（活跃在公元62年）处于同一时期。海伦的著作涉及了力学、气体力学以及自动控制，他似乎还发明了一种原始蒸汽机。丢番图也许还认识那位凭著作《天文学大成》而被世人铭记的亚历山大天文学家托勒密（约公元100—170）。那本书包含了世界上第一个三角函数表，并且建立了直到十六七世纪哥白尼革命时才被推翻的描述天体运动的数学。彼时的中国，同时期差不多为三国时代，群雄混战。
不幸的是，丢番图也许从未见过这些亚历山大的数学家和科学家们。过去一百多年来，古典学者们之间的共识是，丢番图大约活跃在公元250年，他现存的主要著作《算术》很可能也追溯到那个时期。这样的话，丢番图的出生时间大概是在托勒密去世时间的前后。曾经编辑了权威的希腊版《算术》（1893~1895年出版）的保罗·塔纳里注意到，这本书写着献给“尊敬的狄奥尼修”。虽然这是一个常用名，但塔纳里猜测，这个狄奥尼修就是那个曾在公元232~247年担任亚历山大传道学校校长，以及之后在公元248~265年担任亚历山大主教的狄奥尼修。因此，丢番图可能是个基督徒。如果是这样，下面这一事实就有点讽刺意味了：对《算术》的一个早期但遗失了的评注是由塞翁的女儿希帕蒂亚（约公元370—415）所写的，她是亚历山大最后一位伟大的数学家，后来被一帮反对她“异教徒”哲学思想的基督教暴徒杀害。
【《希腊诗文选》这是公元500年前后的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗】。
3、《算术》
古希腊数学家在几何学和天文学领域一直是最强的。丢番图在种族上是希腊人，但与众不同的是，他用“数字的科学”，即我们所知的代数，来缓解儿子去世的悲痛。他似乎是代数上很多创新的源头，包括他在问题中使用的符号和缩写，这标志着数学问题从文字描述到现代代数表示法的转变。
目前所知的丢番图的著作有两本，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留传下来．这里要特别提的是《算术》这本书，可以说这是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》一比高下．
《算术》的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．1973年，G．图默(Toomer)在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆研究一本阿拉伯文手抄本，确认是《算术》的另外4卷阿拉伯文本．
《算术》的6本书中罗列的问题一道比一道难，大部分都难于求解丢番图年龄的问题。
《算术》
丢番图的《算术》主要是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。
《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。
单这样看，或许没觉得《算术》的伟大。须注意到的是,希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。
比如：(a＋b)²=a²+2ab＋b²关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)。而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．
完全平方式的图形证明
直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，可算是较原始的简字代数．
要指出的是符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．
你太伟大了！
另外，丢番图使用的方法之多，让人目不暇给，但未能击节叹赏。他是个巧妙的解题高手，但显然不够深刻，未能看出他所用方法的实质加以概括。欧拉曾认为丢番图用特例来说明一般方法，因为那时未能用字母表示数！不过总的来说，他的工作在代数领域是永垂不朽的。
（关于这点想想我们虽然在小学5、6年级学会了解简单的方程，可是我们是到了初中才学会用字母表示数）
丢番图提及的另一个抽象元素是幂。那个时候，数学家们已经熟悉了平方和立方。平方用来计算一个平面图形的面积，立方用来计算一个实体的体积。但是丢番图将高次方引入了他的问题：4次方（他称为“平方-平方”）、5次方（他称为“平方-立方”）和6次方（他称为“立方-立方”）。丢番图知道，这些幂与现实没有关联性，并且他也不在乎这种数学的实用性。这是纯粹的娱乐性数学，仅仅用来强化思维，没有别的目的。
这里列举第4本书中的第一个问题。丢番图先是概括地阐述了：
将一个已知数拆分成为两个立方体的体积，并且这两个立方体的边之和等于另一个已知数。
接着给出了例子：
已知数为370，边长之和是10。
将这个问题用图表示后可见，他需要处理两个不同边长的立方体。现代代数学家可以将这两个立方体的边标记为x和y：
这两条边加起来为10。这两个立方体的体积之和（x³和y³ ）是370。我们现在写下两个等式：
x + y = 10
x³ + y³ = 370
由第一个等式得出，y等于(10- x)，将其代入第二个等式：
x³ + (10 - x)³ = 370
展开(10 - x)³，我们希望立方项最终可以消失：
x³ + (1000 + 30x² - 300x - x³ ) = 370
很幸运，立方项消失了，经过整理后可以得到：
30x² - 300x + 630 = 0
等式左边的3个数有一个公因数，所以可以同时除以30：
x² -10x + 21 = 0
现在，这个问题基本解决了。你有两个选择。如果记得二次方程的求根公式7就可以直接使用它；或者，如果你曾经练习过求解类似的方程，就可以一直盯着它思索，直到它自己神奇地分解成
(x - 7)(x - 3) = 0
对于ax² + bx + c = 0，解为x = 。
因此两个边的长度分别为7和3。的确，这两个边加起来等于10，它们的立方（343和27）和等于370。
丢番图并不像你我这样解决这个问题，他确实不会。尽管丢番图的问题经常涉及多个未知数，但是他的记号只允许他表达一个未知数。他用了一个巧妙的方法弥补了这一点。他没有将两个立方体的边长标记为x和y，而是标记为(5 + x)和(5 - x)。这两个边长可以用一个未知数x表示，并且加起来确实等于10。接下来，他就可以将这两条边进行立方运算，相加后等于370：
(5 + x)³ + (5 - x)³ = 370
这个式子看起来比我们的糟，但是如果展开这些立方，一些项便会迅速消去，只留下：
30x² + 250 = 370
合并同类项，方程两边再同除以30，进一步化简为：
x² = 4
即x=2。因为两条边是(5 + x)和(5 - x)，所以这两条边是7和3。
丢番图用来解决这个问题的方法比现在学生用的方法轻松，他神奇并正确地将两个边长用一个未知数表示。这个方法会适用于下一个问题吗？也许可以，也许不可以。建立解决代数方程的通用方法确实不是丢番图所要考虑的。正如一位数学家论述的：“每一个问题都需要一个十分具体的方法，这个方法通常连最类似的问题都不适用。这使得现代数学家即使在研究了100道丢番图问题的解答后，还是很难找到解决第101道题的方法。”
当然，丢番图在展示这个立方之和为370、边长之和为10的问题时，显然并不是随意选取某些数字，他知道这些假设条件将会导出一个整数解。实际上，丢番图方程就是指只允许整数解的代数方程。丢番图方程可以有很多未知量，这些未知量可以带有整数幂，但是它的解（如果有）总是整数。尽管丢番图经常使用减法来命题，但是他的解从不涉及负数。“对于一个没有用任何正整数相减就得到的负整数本身，丢番图显然没有任何概念。”任何一道问题也不会包含有0的解，古希腊人不将0考虑在内。
4、丢番图方程
行文至此，我们本可以结束，但是还有一些有趣的是，我们还想再聊下！
伟大的书，伟大的问题总在于它能不断激发人的思考，能不断有新的活力!下面我们看俩个丢番图方程的例子。
丢番图的《算术》是用希腊语写的，至少有部分文稿被翻译成了阿拉伯文。当它开始在欧洲数学界产生影响的时候，在1575年首次被翻译成拉丁语，之后在1621年有了更好的版本。费马（Fermat，1601—1665）曾拥有一本1621年的拉丁语版《算术》，并在其空白处写满了笔记。1670年，费马的儿子公布了这些笔记以及拉丁文版的《算术》。在这道问题旁有这样一段笔记，费马写道：
另一方面，将一个立方数分解为2个立方数，或者将一个4次方数分解为两个4次方数，亦或将除平方之外的任何乘方分解为两个有同幂的乘方，这些都是不可能的。对此，我已经发现了一个非常漂亮的证明，但是这儿的空白之处不够写下它。
费马没有写出的证明就是大家熟知的费马最后定理（有时也称费马大定理）：
当整数n >2时，关于x, y, z的方程
x^n + y^n = z^n 没有正整数解
多年来，人们普遍相信，不管费马当时想到了怎样的证明，这个证明也许是错的。但这个问题以及费马的这句话激励引领着数学300多年的发展：英国数学家安德鲁·怀尔斯（1953— ）从10岁开始就对这个问题产生了兴趣，到1995年，费马最后定理才最终被他证明。
我费尔玛就是这么拽啊！
另一个，有个有趣的丢番图方程问题：你怎么把1到100之间的每一个数字表示为三个整数的立方的总和？简单表述如下：
x^3+y^3+z^3=k，其中k等于1~100的任何整数，求整数x,y,z?
20世纪50年代重温这一难题的现代数学家很快找到了答案，当时k等于许多较小的数，但很快就出现了一些特别顽固的整数。最棘手的两个数字，分别是33和42。
2019年4月，英国布里斯托尔大学数学家安德鲁·布克（Andrew Booker）解决了33难题。布克用一种计算机算法寻找x、y和z值在正负99万亿之间的丢番图方程的解，经过数周的计算后，找到了33的解。如你所见，答案是超长的。
尽管如此，这一详尽的搜索仍然没有找到42的解。这表明如果解存在，一些整数必须大于99万亿。计算这么大的数值需要极大的计算能力，因此在他的下一次尝试中，布克请求麻省理工学院数学家安德鲁·萨瑟兰（Andrew Sutherland）的帮助，最后在一个名为慈善引擎（Charity Engine）的全球计算机网络上预定了一段时间。根据布里斯托尔大学的一份声明，这个网络是一个“世界性的计算机”，它借用了全球50多万台家用电脑的闲置计算能力。利用这台众包的超级计算机和100万小时的处理时间，布克和萨瑟兰最终找到了k = 42的丢番图方程的答案：
无独有偶，在道格拉斯·亚当斯的科幻系列小说《银河系漫游指南》中，程序员向这台银河系最大的超级计算机提出了一个终极问题：生命、宇宙和一切的意义。经过750万年的处理，计算机得出了一个答案：42。
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