请问钟表的时针、分针、秒针什么时候正好能三等分圆周？

Question

谢谢大家的回答，再追加50分，要具体准确的答案，尽量不要说模棱两可的话。

Answer 1

时针角速度：1/120 （度/秒）
分针角速度：1/10 （度/秒）
秒针角速度：6 （度/秒）

设时针转过角度为x时，分针转过角度为x+120+360m，秒针转过的角度为x+240+360n。其中m<n均为整数，分别表示分针、秒针已转过的整圈数。

根据等[同]时性列方程如下：
x/(1/120)=(x+120+360m)/(1/10)=(x+240+360n)/6

整理可得下式：
11x=360m+120①
719x=360n+240②

首先判断有无这种等分的可能，整理上述①和②式，消去x得到如下关系式：
33n=2157m+697③

可以看出，m可能的所有取值范围为0-11[11以后又开始重复]。
根据③式讨论如下：
1、m=0→n=21.1212
2、m=1→n=86.4848
3、m=2→n=151.8485
4、m=3→n=217.2121
5、m=4→n=282.5758
6、m=5→n=347.9394
7、m=6→n=413.3030
8、m=7→n=478.6667
9、m=8→n=544.0303
10、m=9→n=609.3939
11、m=10→n=674.7576
12、m=11→n=740.1212
显然，对于m所有可能的取值，n均不为整数，说明三指针等分圆周根本就不可能发生。此命题为假命题。

Answer 2

此题无解了，具体过程就如dashi2002分析的那样，另外严重鄙视以下答案：钟表是一个圆。则角度为360度，因是三等分，所以每份角度为120度。。钟表平均分为十二格，所以每两格之间为30，所以每四格就为120，因此，时针，分钟，秒针，之间都相差四格时，如：12.4.8 钟表就正好能三等份！

Answer 3

分两种情况谈这个问题才有意义
如果你的表是现实生活中的钟表
那么所有的钟表指针都只能指在整数秒的时间上
如此一来，不需要用数学分析，把0:00:00-11:59:59这段时间内的所有时间(当然是整数秒)全部穷举出来算时分秒针之间的夹角，没有哪个时间指针两两间夹角是120度的
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当然若你是个理想主义者，你把表针看成是可以连续走动的。我们把12小时内时间分成720份长度60秒的时间段，考察第m+1(0≤m≤719)个时间段内第x秒,若要使指针两两夹角都是120度，不外乎下面六组方程式其中之一成立:
①(x-60m)/60+2/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60+4/3=x/43200
②(x-60m)/60+2/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60-2/3=x/43200
③(x-60m)/60+4/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60+2/3=x/43200
④(x-60m)/60-2/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60+2/3=x/43200
⑤(x-60m)/60-2/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60-4/3=x/43200
⑥(x-60m)/60-4/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60-2/3=x/43200
我们先考察第一组：
(x-60m)/60+2/3=(x-[m/60]*3600)/3600
(x-60m)/60+4/3=x/43200
由第一个方程，解得:x=(3600m-2400-[m/60]*3600)/59
由第二个方程，解得:719x=(43200m-57600)
由于x的分母59是质数，那么在x不是整数的情况下，719x不可能是整数。所以方程没有不是整数的根。而如果x是整数，我在讨论开始就指出了不可能有整数秒的解。所以此方程组没有解
同理，其它五个方程也是没有解的
所以，就算表针可以连续转动也不可能指针平分钟面
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因而，这个问题无解

参考资料：数学分析+程序验证

Answer 4

由于键盘打不出圆周率（派），姑且就用汉字“派”代替，S代表单位秒 1. 先设下三针的角速度：V秒针=2派/60S； V分针=2派/3600S； V时针=2派/43200S 2. 在同等的时间T内，三根针所各自走过的角度分别为：A=2派/60S*T； B=2派/3600S*T； C=2派/43200S*T。 所以只要满足方程B-C=N*2派+2/3派，或者B-C=N*2派-2/3派。（其中N应当是自然数） 代入未知数T得出方程：2派/3600S*T-2派/43200S*T=N*2派+2/3派；或者：2派/3600S*T-2派/43200S*T=N*2派-2/3派。（这里实际上“派”可以约去） 3. 因为手表周而复始，所以只要讨论一个周期12小时（43200S）即可，即：T<=43200S，同时可以看出自然数N应当也是有范围的。剩下只需要解这个一元方程即可。这里因为N是有范围的自然数，所以会得出若干个T。再根据得出的T计算出此时秒针所在的位置，验证秒针所在的位置是否正好与分针、时针夹角120度。 4. 舍去秒针与分针、时针夹角不满足120度的解，余下的解应该就是符合题意的了。当然也可能计算出来在时针分针夹角120度时，秒针不可能再与他们分别都夹120度角，此时则本题无解。

Answer 5

设此时为：x时 y分 z秒，那么：
时针走过的角度：30x+(1/2)y+(1/120)z
分针走过的角度：6y+(1/10)z
秒针走过的角度：6z

则可列方程组：
(1)按顺时针方向依次为：时针-分针-秒针
分针-时针=120
秒针-分针=120
最后解得一个关系：
z=(60/11)x+460
y=(177/330)x+1297/3
现实中0<x<12，0<y<60，0<z<60,明显y、z过大。
此种顺序不可行。

(2)按顺时针方向依次为：分针-时针-秒针
同理解出一个关系：
y=(59/60)z-40
x=(22/120)z+2/3
现实中0<x<12，0<y<60，0<z<60，由y得出z>40，由x得出z<60<680/11
所以此种分配方式可以！！

(3)……

另外还有多种排列情况，或许有多种答案，但是肯定不唯一，和三针的顺序排列不同有关，有的无解，有的就可能有，不想一一列举了，解方程也太麻烦了。总之肯定不会有整数解，也不会有具体的解，只有一个关系，因为表是轮转的，所以每时每刻都有符合条件的答案出现。
同时题目说三等分圆周，没说按顺时针排列必须是“时针/分针/秒针”，还可能是别的情况，如果单纯按照“时针/分针/秒针”无解就推断出来此题无解，或许不够全面。