(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 因式分解

Question

如题所述

Answer 1

(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
是a,b,c的5次轮换对称式,
用轮换对称法
可以知道:
a+b=0时,原式=0,
所以有(a+b)因式.
同样有(b+c)(c+a)因式

设:(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
=(a+b)(b+c)(c+a)
*[x(a^2+b^2+c^2)+y(ab+bc+ca)]
得x=y=5

(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
=5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)

Answer 2

(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
是a,b,c的5次轮换对称式,
用轮换对称法
可以知道:
a+b=0时,原式=0,
所以有(a+b)因式.
同样有(b+c)(c+a)因式
设:(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
=(a+b)(b+c)(c+a)
*[x(a^2+b^2+c^2)+y(ab+bc+ca)]
得x=y=5
(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
=5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)
如果你不嫌麻烦可以拆开括号化简后在分解

Answer 3

5(a+b)(b+c)(a+c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)
因为
(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
是a,b,c的5次轮换对称式,
用轮换对称法
可以知道:
a+b=0时,原式=0,
所以有(a+b)因式.
同样有(b+c)(c+a)因式

设:(a+b+c)^5－a^5－b^5－c^5
=(a+b)(b+c)(c+a)
*[x(a^2+b^2+c^2)+y(ab+bc+ca)]
得x=y=5
故可得答案