一个高一的数学问题，求y=(x^2-a)/x的单调区间

Question

如题所述

Answer 1

已知函数可化为 y=x-a/x ，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
若a=0,则y=x，函数在定义域内单调增加；
若a>0，∵y1=x是(-∞，+∞）上的单调增函数,y2=-a/x在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调增加，所以y=x-a/x在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调增加。
若a<0，不妨记-a=b,则y=x+b/x,b>0。取x1,x2∈(0，√b)，不妨设x2>x1，则
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+(b/x2-b/x1)=(x2-x1)[1-b/(x1x2)]
∵ 0<x1<√b, 0<x2<√b,∴1-b/(x1x2)<0,
又(x2-x1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,故函数在(0，√b)内单调减少；
类似可证明函数在（√b,+∞）内单调增加；
∵函数是奇函数，其图像关于原点对称，所以函数在(-∞,-√b)单调增加，在（-√b,0)单调减少。
综上述，当a<0时，函数在(-∞,-√-a)及（√-a,+∞）内分别单调增加；
在（-√-a,0)及(0，√-a)内分别单调减少。

Answer 2

解：由题知x不等于0，x=(x^2-a)/x=x-a/x，所以：y'=1+a/x^2=0,所以：x^2=-a,
所以当a<0时，x=正负(-a)^2,这时y的单调增区间是：(-无穷，-(-a)^2]并[(-a)^2,+无穷);减区间是：[-(-a)^2,0)并(0,(-a)^2]
当a>0时，y'=0无解。这时y'=1+a/x^2>0,y恒增，所以这时y的递增区间是：(-无穷,0)并(0,+无穷)
当a=0时，y=x (x不等于0),所以这时y的递增区间是：(-无穷,0)并(0,+无穷)