数列收敛的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

因为｛Xn｝单调，F(x)也单调；F(Xn)是单调的，F(X)在（-∞，+∞）内单调有界，故F(Xn)在（-∞，+∞）内单调有界，根据单调有界定理知道F(Xn)必收敛，即收敛。

充要条件：设有一数列{Xn}，该数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>n>N时就有|Xn-Xm|<ε等。

1）数列收敛的基本定义

设{Xn}为一已知数列，A是一个常数。如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N=N(ε)，使得当n>N时，有|Xn-A|<ε，则称数列{Xn}当n趋于无穷时以A为极限，或称数列{Xn}收敛于A。

2）夹挤定理

如果有三个数列{Pn}{Xn}{Qn}。且当n足够大以后，满足条件Pn≤Xn≤Qn。如果当n趋于无穷时，{Pn}和{Qn}都收敛于A，那么数列{Xn}也收敛于A。