均值定理有哪些形式？如何运用？

Question

如题所述

Answer 1

均值定理四个公式：a>0b>0时，a+b≥2√ab，ab≤[(a+b)/2]²。a+b+c≥3*√(abc)，abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27(定值）等。具体如下：
已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P
1、如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；
2、如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。
或当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab(定值）当且仅当a=b时取等号。
3、设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。
则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘Xn。
当a、b、c∈R+，a+b+c=k（定值）时，a+b+c≥3*√(abc)。
即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27(定值），当且仅当a=b=c时取等号。
例题：求x+y-1的最小值。
分析：此题运用了均值定理。
x+y≥2√xy。
x+y-1≥2√xy-1。
4、均值定理特点：
一正：各部分为正数。
二定：不等号左或右是定值。
三相等：等号能够取得。