考虑滑动加速度及环境影响的斜坡演化非线性动力学模型

Question

如题所述

Answer 1

一、双尖点突变模型

在本章第四节的分析中，我们建立了考虑滑面介质蠕变特性的斜坡演化非线性动力学模型，但没有考虑滑动加速度及外界环境因素对斜坡演化过程的影响。本节将建立一个更全面的非线性动力学模型来研究这些问题。

由方程（7-17）可导出斜坡失稳的非平衡合力F为：

非线性岩土力学基础

当考虑环境因素，例如四季气候、温度、降雨、地震或振动等的变化对斜坡演化过程的影响，并且把外部环境输入系统的周期信号近似取为Acosωt，则式（7-33）可进一步变为：

非线性岩土力学基础

式中，A与ω分别是周期信号的振幅与频率。把u化为x的表达式，则式（7-34）可重写为：

非线性岩土力学基础

式中，

，

，a=r，γ=ra，β_c=rb，

。考虑到常数项β_c对非线性方程（7-35）的演化行为影响较小，为重点研究失稳的本质问题，可忽略常数项。令

，则方程（7-35）可进一步简化为：

非线性岩土力学基础

式中，a表示在降雨或地震影响下系统的非线性力学属性，方程（7-36）与Duffing 方程类似^［36］。

因为外部荷载pcosωt是按简谐变化的，故方程（7-36）的解可设为以下形式^［36］：

x=Zcos（ωt+φ） （7-37）

式中，Z是振幅；φ是初相。

将式（7-37）代入式（7-36），并略去3次谐波项，根据cosωt和sinωt前的系数必为零的条件，得到：

非线性岩土力学基础

消去方程（7-38）中关于Z²的二次项，得到：

（B+Q）³+（B+Q）μ_d+v_d=0 （7-39）

式中，

B=Z² （7-40）

非线性岩土力学基础

Q=8ρ/9α （7-42）

μ_d=16（3μ²ω²-ρ²）/27α² （7-43）

v_d=-16［8ρ（ρ²+9μ²ω²）+81αp²］/729α³ （7-44）

式中，B+Q是状态变量；μ_d与v_d是控制参数。方程（7-39）^［20］是双尖点突变的标准平衡曲面方程（如图7-16所示），因为状态变量本身由变量B和Q组成。两个尖点的位置可由μ_d=0与v_d=0求出。令f=ω²-

=-ρ，可得：

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

即图7-16中两个尖点的坐标分别为O₁（f₁，a₁）和O₂（f₂，a₂）。

f实际上为外部环境输入信号的振动频率ω与系统自振频率ω₀的平方差，这里简称为频率差。图7-16表示在地震或其他环境因素影响下结构振动的振幅Z与频率差f以及表示系统力学性能的非线性系数a三者之间的变化关系。下面分析a的不同取值对动力学稳定性的影响。

1）当a为小量，可忽略不计时，即振动系统的非线性特性很微弱时，振动系统主要表现出线性振子的特性，由式（7-38）得：

非线性岩土力学基础

式（7-47）说明当外部环境信号的振动频率ω与系统的自振频率ω₀接近时，结构振动的振幅会突然增大，出现所谓的共振效应（对应于图7-16中的路径AA′）。

2）当a＜a₂时，振幅出现极大值的位置，不出现在ω→ω₀的位置，而是出现在ω＜ω₀的某一频率范围（对应于图7-16中的路径BB′）。

3）当a＞a₁时，最大振幅值的位置出现在ω＞ω₀的频率范围（对应于图7-16中的路径 CC′）。

图7-16 双尖点突变模型

由以上分析可知，当a不为零时，即考虑系统的非线性特性时，外部环境因素对斜坡稳定性的影响比较复杂。也就是说，滑坡发生时间不一定正好发生在降雨或地震期间，已有很多的滑坡实例可以证实这一点。这也意味着试图建立降雨数据与滑坡发生的统计关系非常困难，甚至是徒劳无益的。

二、非线性动力学模型产生的混沌效应

混沌系统的基本特点之一是“对初始条件的极度敏感性”，即初始条件的微小变化可以导致系统的巨大响应，这种响应有着明显的不确定性。通过对方程（7-35）的研究，发现斜坡在演化过程中有混沌现象出现。

假定在方程（7-35）中，除外部环境输入信号振幅p是可变参数外，其他参数是常数。为简化分析，令μ=0.3，α=1，γ=-1，β_c=0，ω=1.2，则方程（7-35）变为：

非线性岩土力学基础

当p由小逐渐变大时，上述方程的解如图7-17所示。当p＜0.3时，解x（t）都是周期振荡，并且周期逐次成倍增长。当p=0.2 时，振荡周期τ等于外部环境信号的周期T，即τ=T=2π/1.2；当p=0.27时，τ=2T；当p=0.28时，τ=2²T；当p=0.2867时，τ=2³T；p继续增大且达到某一临界值p_∞（p_∞≈0.3）时，τ=2^∞，即周期变为无穷大，系统不再具有周期性，意味着混沌出现。这表明当外部环境输入信号幅度逐渐增强时，斜坡演化过程会出现混沌现象，其通向混沌之路是通过倍周期分岔（振荡）实现的。

当p的取值在混沌范围内，如图7-17（e）和图7-17（g）之间的图7-17（f），还存在很窄的周期“窗口”，图7-17（f）的周期为5T。从混沌区继续加大p值，又可能依次出现周期为2ⁿT的周期振荡（n=…，2，1，0），如图7-17（h）和7-17（i）所示的2T和1T的周期振荡。这说明，在外界环境因素影响下，斜坡演化过程有时具有周期特征，有时具有混沌特征，或两者交替进行，显示出斜坡演化过程复杂性的本质属性。斜坡演化过程具有周期特征时，是完全可以预测的，具有混沌特征时，虽然可以预测，但必有预测时间尺度限制。

这种倍周期振荡并由此通向混沌的情况也可由相平面（x，

）上的轨线看出。图7-18

是与图7-17（a）～（e）相对应的相平面上的轨线（去掉了暂态过程）。可以看出，周期运动都是闭曲线，周期为2ⁿT的周期振荡有n条近似相同走向的轨线，这些轨线共有n个交点。至于混沌运动（图7-18（e）），其轨线看上去确实是杂乱无序的。然而，这并不意味着是混沌运动完全无序而没有一定结构，实际上它是有内部结构的，我们建议采用下述方法分析这样的复杂运动。

受迫振荡可以看成是两个运动系统的耦合，其中之一是Duffing方程：

非线性岩土力学基础

所表征的非线性子系统；另一个是外部环境因素引起的外加周期力，它可以看作是一线性简谐振荡子系统。容易知道方程（7-49）有3 个奇点^［37］（定态）：①鞍点：x₁=0，x₂=0；②稳定焦点：x₁=1，x₂=0；③稳定焦点：x₁=-1，x₂=0。当外加周期力的振幅p较小时，线性子系统的振荡很弱，并且它对非线性子系统的作用也很弱，整个系统的运动围绕着非线性子系统的两稳定焦点之一以线性振子的频率（ω=1.2，τ=T）振荡（图7-18（a））。稍许加大p，非线性子系统的影响是使整个系统围绕稳定焦点的振荡出现分频（倍周期）（图7-18（b））。当p进一步增大且超过非线性子系统三奇点之间的间隔时，系统可在这些奇点之间来回跳跃振荡（图7-18（e）），运动更加复杂化，导致混沌出现。当p再进一步加大，线性振子完全处于支配地位，非线性子系统的作用相对来说很弱，这时整个系统便按线性子系统方式运动，即它被锁定在外加周期力的频率上（τ=T）。总之，两耦合子系统之一起支配作用时，整个系统处于倍周期分岔状态；只有当两个子系统的相互作用能力匹配时，两振荡相互强烈影响，运动才复杂化出现混沌。以上说明，当斜坡系统本身的非线性作用与外界环境输入信号的线性周期力响应能力相当时，才能出现混沌现象。

图7-17 p取不同值时的x-t曲线

（p=0.20、0.27、0.28、0.2867、0.32、0.36、0.40、0.645、0.85）

由于我国地质结构复杂，大多数斜坡本身的非线性作用较强。相对而言，由于我国北方气候比较恶劣，即环境的周期性变化大，北方斜坡的演化更具有混沌性；南方气候变化较小，南方地区的斜坡演化则表现出较弱的混沌性。