根据数列极限的定义证明:

Question

根据数列极限的定义证明:第一题的第三小问

Answer 1

用极限定义证明：n→∞lim√[1+(4/n²)]=1;
证明：不论预先给定的正数ξ怎么小，由
∣√[1+(4/n²)]-1∣=∣[√(n²+4)]/n-1∣=∣[√(n²+4)]-n∣/n>∣√(n-1)²-n∣/n=∣n-1-n∣/n=1/n；
可知：只要 1/n<ξ，即n>1/ξ成立，∣√[1+(4/n²)]-1∣<ξ就能成立；
也就是说存在正数M=[1/ξ]，当n≧M时就恒有∣√[1+(4/n²)]-1∣<ξ成立，故证。
举例：取ξ=0.1，那么M=1/0.1=10，再取n=10=M，则∣√(1+4/100)-1∣=(√1.004)-1
=1.001998-1=0.001998<0.1；追问

可知：只要 1/n1/ξ成立，∣√[1+(4/n²)]-1∣<ξ就能成立；
这一段我不懂。
a＞b
要使b<c
则证明a<c?这说不通啊？

追答

因为按n→∞时函数f(n)的极限存在的定义，只要存在一个
正数M=φ(ξ);当n≧M时不等式∣f(n)-A∣(n-1)²
=n²-2n+1，即不等式3>-2n，对n∈N+时总能成立。当然不
一定要用这个式子，你自己也可以编一个。
由∣√[1+(4/n²)]-1∣>1/n；【中间过程省去】可知：只要1/n1/ξ，则有∣√[1+(4/n²)]-1∣<ξ，因此存在M=[1/ξ];
比如预先给定ξ=0.01，那么存在M=1/0.01=100；当n≧100时，
恒有∣√[1+(4/100²)]-1∣=∣(√1.00004)-1∣=1.00002-1=0.00002<0.01;

追问

虽然您的方法有些问题，但给我提供了解题思路。谢谢(*°∀°)=3

Answer 2

首先，要搞清楚数列极限的定义: 设 {Xn} 为实数数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。证明的关键，就是找到这个N追问

但我不知道怎么找到这个N