已知函数f(x)=x的2次方e的负x次方。(1)求f(x)的极小值和极大值。(2)当曲线y=f(x

Question

已知函数f(x)=x的2次方e的负x次方。(1)求f(x)的极小值和极大值。(2)当曲线y=f(x)的切线L的斜率为负数时，L在x轴上截距的取值范围是多少

Answer 1

f(x)=x²e^(-x)
1) f'(x)=(-x²+2x)e^(-x)=-x(x-2)e^(-x)
得极值点x=0, 2
f(0)=0为极小值
f(2)=4e^(-2)为极大值
2) 切线斜率为负时，得：-x(x-2)<0
即x(x-2)>0
得：x>2或x<0
设切点为(t, f(t)), t>2或t<0
切线为y=-t(t-2)e^(-t)(x-t)+t²e^(-t)=te^(-t)[-(t-2)x+t]
当y=0时，求得截距：x=t/(t-2)=1+2/(t-2)
当t>2时，有x>1
当t<0时，有0<x<1
所以L在x轴的截距取值范围是：(0, 1)U(1,+∞)