数列收敛问题

Question

an是有界数列，对任意有界数列bn，都有an+bn的上极限等于an的上极限加bn的上极限。证明an收敛

Answer 1

若an不收敛，由an有界以及Weierstrass定理，an至少有两个不同的聚点，我们设为A1，A2，不妨设A1为an上极限，则A1>A2（不懂的名词请自行百度，有极其详细的介绍）
同时我们可设an子列：
xn收敛到A1，yn收敛到A2，而且可以轻易的做到xn与yn中没有共同的元素
构造bn如下：
bn＝－｜an｜（如果这个位置不在xn，yn中）
＝yn（如果这个位置在xn中）
＝xn（如果这个位置在yn中）
说白了就是bn就是把an刚刚找到的x1与y1的位置交换，x2与y2的位置交换依此类推了，其他为an绝对值的相反数。
此时可知an上极限为A1，bn上极限也是A1，但an＋bn上极限是A1+A2，显然2*A1>A1+A2与题设矛盾。
因此An收敛

PS，从来没写过这么烂的证明。。。。用别人手机打的。。。。有看不懂的问我吧

Answer 2

因为an有界，所以上下极限都存在，设为A,B

同时我们也知道，-an的上极限是-B【用定义就容易知道，也是基本的性质】
令bn=-an，0的上极限是0
则0=A+上(-an)=A-B
得到A=B
所以an收敛