关于第一个问题，game是一个可数名词，加s是复数形式，computer games表示很多（或不止一种）电脑游戏。名词在使用时需要根据情况考虑是否加冠词以及是否要用复数形式，可数名词一般有以下四种形式：
1. a computer game, 泛指一种电脑游戏；
2. computer games, 泛指（一些或很多）电脑游戏；
3. the computer game, 特指（这）一种电脑游戏；
4. the computer games, 特指（这些）电脑游戏。
原句即属于第二种。
关于第二个问题：
1. like有两种用法：like doing sth.和like to do sth.
2. like是及物动词，可直接搭配名词（like sth.）。而like doing sth.中的doing（本句中的playing）属于动名词，我们可以把doing sth.（本句中的playing computer games）这个整体看做名词性质的短语，这样及物动词like接上名词性质的playing computer games就很好理解了。（换言之，play作为原本的动词形式，在句中是不可直接加在动词like后面的，为了和动词like搭配，就要加ing变成动名词形式playing。）
3. 从句子成分的角度来说，英语中一个简单句里只能有一个动词作谓语，常称为谓语动词。本句中动词like充当谓语（或说like是谓语动词），而playing computer games这个整体充当宾语。
另外，like to do sth.里的to do叫动词不定式，可以说to do sth.这个整体也是名词性质的。（doing sth.和to do sth.还可以整体作句子的主语。）
至于用别的动词，它们各有用法，有的加to do，有的加doing，也有的两者皆可。比如：
1. enjoy、keep、hate、finish、avoid等加doing；
2. hope、want、expect、decide、intend等加to do。
另外，有些动词不定式会省略掉to do中的to，比如let sb. do sth. 和 help (sb.) do sth.等。
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