lim(x0)[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=lim(x0){[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^[3/(a^x+b^x+c^x-3)]}^[(a^x+b^x+c^x-3)/3x]=e^[lim(x0)(a^x+b^x+c^x-3)/3x)]=e^[lim(x0)(a^x*lna+b^x*lnb+c^x*lnc)/3]=e^[(lnabc)/3]=(abc)^(1/3)
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第1个回答 2014-03-11
令k=lim(x→0)[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
则lnk=lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x
∵符合0/0的形式
∴由洛必达法则，得：
lnk=lim(x→0)(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)=ln(abc)/3
∴lim(x→0)[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=k=³√(abc)
则lnk=lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x
∵符合0/0的形式
∴由洛必达法则，得：
lnk=lim(x→0)(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)=ln(abc)/3
∴lim(x→0)[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=k=³√(abc)
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