笛卡尔符号规则内容

Question

如题所述

Answer 1

笛卡尔符号规则阐述了实系数多项式的根分布规律。当多项式按降幂排列，其正根的数目要么等于相邻非零系数符号改变的次数，要么这个数减一，是一个正偶数。相反，负根的数目则是将所有奇数次项系数取反后，新多项式符号变化的次数，或者这个数减一，同样是一个正偶数。

以多项式 \(x^3 + x^2 - x - 1\) 为例，第二项和第三项系数的符号改变一次，表明该多项式有一个正根。将其重写为 \((x+1)^2(x-1)\)，可以直观看出根为-1（重复两次）和1。

如果只考虑奇数次项，对原多项式 \(-x^3 + x^2 + x - 1\) 变号后，符号改变了两次，这意味着原多项式有零个或两个正根。将其拆分后为 \(-(x-1)^2(x+1)\)，根为1（重复两次）和-1，它们与原多项式的根位置刚好相反。