改进欧拉法欧拉算法

Question

如题所述

Answer 1

数值解法的核心在于处理含有导数的微分方程，离散化是关键步骤，通常通过向前差商近似导数来实现，这便是欧拉算法的基础。欧拉算法作为最基本的数值求解手段，虽然简单易懂，但其求解精度相对较低，一般不会单独应用于工程计算中。其目标是寻找函数y(x)在一系列点(xi)的近似值yi，对于给定的常微分方程

dy/dx = f(x,y), x ∈ [a, b], y(a) = y0

我们首先将区间[a, b]划分为n个等间距的子区间，每个子区间的长度为h。在第xi点，我们有y'(xi)近似为f(xi, y(xi))，然后利用向前差商，得到

(y(xi+1) - y(xi))/h ≈ f(xi, y(xi))

由此，我们可以计算出下一个点的近似值yi+1:

yi+1 = yi + h * f(xi, yi)

如果yi的值恰好等于y(xi)，我们可以依据这个公式递推计算出y1, y2, ..., yL。在此过程中，人们通常会估计在yi+1点的局部截断误差y(xi+1) - yi+1，这是欧拉算法的局限性之一。

若一种数值方法的局部截断误差为O(h^(p+1))，即与h的幂次为p+1，那么我们称其为p阶方法。欧拉算法的局部截断误差为O(h^2)，这表明它是第一阶方法，这意味着它的精度随着步长h的减小而线性提高，而非平方根提高，这是它的一个显著特点。