数值解法的核心在于处理含有导数的微分方程,离散化是关键步骤,通常通过向前差商近似导数来实现,这便是欧拉算法的基础。欧拉算法作为最基本的数值求解手段,虽然简单易懂,但其求解精度相对较低,一般不会单独应用于工程计算中。其目标是寻找函数y(x)在一系列点(xi)的近似值yi,对于给定的常微分方程
dy/dx = f(x,y), x ∈ [a, b], y(a) = y0
我们首先将区间[a, b]划分为n个等间距的子区间,每个子区间的长度为h。在第xi点,我们有y'(xi)近似为f(xi, y(xi)),然后利用向前差商,得到
(y(xi+1) - y(xi))/h ≈ f(xi, y(xi))
由此,我们可以计算出下一个点的近似值yi+1:
yi+1 = yi + h * f(xi, yi)
如果yi的值恰好等于y(xi),我们可以依据这个公式递推计算出y1, y2, ..., yL。在此过程中,人们通常会估计在yi+1点的局部截断误差y(xi+1) - yi+1,这是欧拉算法的局限性之一。
若一种数值方法的局部截断误差为O(h^(p+1)),即与h的幂次为p+1,那么我们称其为p阶方法。欧拉算法的局部截断误差为O(h^2),这表明它是第一阶方法,这意味着它的精度随着步长h的减小而线性提高,而非平方根提高,这是它的一个显著特点。
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