如果只知道偶函数f（x）=f（-x） 并且关于直线对称f（1-x）=f（1+x） 如何证明f（x）是周期函数？

Question

如题所述

Answer 1

证明：因为f（1-x）=f（1+x）
所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x)

又f(x)是偶函数
所以f(x+2)=f(-x)=f(x)

所以f(x)的一个周期是T=2

Answer 2

f(x)=f(-x)
所以 f(1-x)=f(x-1)=f(1+x)=f(x+1)
即f(x-1)=f(x+1)
所以 f(x)=f(x+2)
所以f(x)是周期函数

Answer 3

因为偶函数，所以f(1-x)=f(x-1)
所以f(x-1)=f(x+1),所以
f(x)=f(x+2)