【折纸活动】第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②

Question

【折纸活动】第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图③中所示的AD处．第四步，…【问题解决】（1）求图③中ABBC=______；（2）在图③中证明四边形ABQD是菱形；（3）请在图②中再折一次，折出一个30°角，请结合图②，示意折法，并说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：设AC=x则BC=2x，故AB=

5

x，
则

AB

BC

=

5 x

2x

=

5

2

；
故答案为：

5

2

；

（2）由翻折知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，
∵BQ∥AD
∴∠BQA=∠DAQ．
∴∠BQA=∠BAQ．
∴BA=BQ．
∴AD=BQ．
∴四边形ADQB是平行四边形．
∴平行四边形ADQB是菱形（一组邻边相等的平行四边形为菱形）；

（3）如图，

将正方形的边CN沿CG折，使点N落在AF上（点H），此时∠NCG=∠GCH=∠BCH=30°．
（注：方法不惟一，注意阅读学生操作方法；但是尺规作图获得的30°不给分）
理由如下：
设CG交AF于点I，由平行线等分线段定理，
∵MN∥AF∥BC，且NA=CA，
∴GI=CI．
∴在Rt△GHC中，GI=CI=HI．
∴∠IHC=∠ICH．
又∠ICA=∠ICH．∠IHC=∠BCH．
∴∠ICA=∠ICH=∠BCH=30°．
（注：注意学生不同证法，只要推理正确均给分，淡化形式）