数列单调的证明方法有以下几种：
1.数学归纳法：通过证明当n=1时，数列满足单调性，然后假设当n=k时，数列满足单调性，接着证明当n=k+1时，数列仍然满足单调性。这样逐步递推，可以证明整个数列都满足单调性。
2.作差法：对于两个相邻的项a_n和a_{n+1}，计算它们的差a_{n+1}-a_n。如果这个差大于0，说明数列是递增的；如果这个差小于0，说明数列是递减的；如果这个差等于0，说明数列是常数的。这种方法适用于等差数列和等比数列。
3.利用函数性质：将数列看作是一个离散的函数，利用函数的单调性来证明数列的单调性。例如，如果数列是一个增函数，那么它的导数必须大于等于0；如果数列是一个减函数，那么它的导数必须小于等于0。
4.利用不等式性质：对于任意的正整数n，构造一个关于n的不等式，使得当n增大时，不等式的左边减小而右边增大。这样可以证明数列是递增的；同样地，可以构造一个关于n的不等式，使得当n增大时，不等式的左边增大而右边减小。这样可以证明数列是递减的。
5.利用极限性质：如果数列的极限存在且有限，那么数列一定是有界的。根据有界性的定义，可以证明数列是递增或递减的。
6.利用单调子数列：如果数列有一个子数列满足单调性，那么整个数列也满足单调性。这种方法适用于证明数列在某个区间内是单调的。
7.利用单调序列的性质：如果数列是单调序列的一个子集，那么整个数列也满足单调性。这种方法适用于证明数列在某个集合中是单调的。
总之，证明数列单调的方法有很多，需要根据具体问题选择合适的方法进行证明。在实际应用中，这些方法往往需要结合使用，才能得出正确的结论。