生活中，玻璃杯内外两侧冷热的温差会让玻璃发生爆炸。作为一个玻璃杯，在内外温差作用下，其内部究竟发生了什么？最先萌生裂纹的位置究竟位于何方？
关键词：玻璃杯；裂纹；温差；鲁伯特之泪
儿时，上学需要带杯子。我家就给我把酱油瓶或者醋瓶洗洗干净，装上水，系上带子，往脖子上一挂，就变成了一个水瓶。
这样的水瓶虽然简易，但是却容易炸裂。除了磕磕碰碰，妈妈也告诉我，热开水不能直接灌玻璃水瓶里面，会烫炸掉。虽然，大道理都懂，可是玻璃水杯确实在我的眼前烫炸过几回。这个炸并没有像炸弹一样，玻璃碎片四分五裂飞散开来，而是啪的一声，玻璃水瓶变成了两截或者多截。
裂开的玻璃瓶
爸爸说，玻璃瓶被烫炸，是热胀冷缩搞的鬼。学了物理后，知道物体会热胀冷缩，就好像在拉扯玻璃瓶，让它变大，然后就裂开了。这样的解释对于初高中似乎可以，但是这种解释缺少内部的机理，无法说服大学生，特别是力学专业的学生。
因此，从材料热膨胀的热应力机理，来讨论玻璃水瓶的炸裂问题，是个很有意思的话题。
正如上所说，玻璃水瓶的炸裂简单来说就是热胀冷缩。每一种材料，都有自己的热胀冷缩率，我们叫作热膨胀系数，对于钢化玻璃而言，这个数值大概是1e-5m/K。这个数值代表这温度没上升或下降1℃，物体线膨胀或收缩1e-5m。
对于完全自由的物体，由于温度变化造成的物体的变形，都可以自由进行，不会在物体内部产生任何的应力。但是，对于有约束存在的物体，温度变化造成物体不能自由变形，从而在内部产生应力，这种由温度造成的应力，称之为热应力。
简例
如上图，杆的两端固定铰链，限制了杆沿轴向伸缩的可能性。如果此时，这跟杆所处的环境温度逐渐升高，这跟杆就有伸长的趋势，但是两边的约束给限制住了，伸长不了。就好像，两边的约束给杆施加了一个压缩杆的力，从而产生热应力。
热应力的计算较为简单，第一步：先假设其中一端可以沿轴向伸缩。那么在温度场作用下，杆伸长了dL。第二步：施加个力，使得杆被压缩至原长。第三步：由dL/L得到应变，从而得出热应力。
玻璃杯放置于光滑平面上，仅收重力和支撑力作用，底部限制了向下的位移。从这个角度看，受热后，玻璃杯可以自由膨胀，因为不像两端铰支的杆有所限制。然而，实际上真的是这样吗？
玻璃杯仅收重力和支撑力作用
初始状态，玻璃杯室温，往里倒入高温的水。在较短的时间内，玻璃杯内侧高温，外侧低温。内侧的高温使得玻璃水瓶开始膨胀，而外侧温度较低，一开始并没有开始膨胀。这样就导致内侧想胀而不得胀，内层膨胀收到了外层的约束，从而产生了热应力。玻璃水瓶单元体的应力状态如下图所示。图中，假设应力全为正。t表示厚度方向，h表示高度方向，p表示环向。
应力状态
一共三个方向的正应力，假设变形比较均匀，不存在剪应力。对于高度方向，仅仅是底部限制了向下的位移，上部完全自由。所以，高度方向的应力几乎没有。对于厚度方向，内外层表面没有其他约束。但是层层之间，由于膨胀大小不一样（内大外小），外层又限制了内层的膨胀（压应力），所以厚度方向存在应力。但是厚度方向的应力如果是玻璃杯破坏的主要原因，那么杯壁应该出现分层锻炼，实际上并不存在这样的情况（抗压性能优于抗拉性能）。对于环向，内胀如下图顶部黄色的梯形，但是由于环向之间的相互约束，这个梯形并不存在，实际变形为绿色部分。根据热应力的计算方法，内测受压。而外侧则由于膨胀而受拉。如下图。可见，玻璃杯炸裂的主要原因在于环向应力。由于玻璃抗压性能优于抗拉性能，所以外层的玻璃最先出现裂纹而被拉断。
环向应力分布
以钢化玻璃为例，其弹性模量72e9Pa，泊松比0.2，热膨胀系数1e-5m/K，热传导率1.09W/(m·K)，密度2500kg/m3，比热790J /(kgK)。由于不仅仅计算热应力，还想看看温度到底如何传导，所以需要上述物理量。