取 a=b=0 得 f(0) = f(0)*f(0) 所以 f(0) = 1 或者 f(0) = 0, 但如果f(0)=0, 则 f(x) = f(x+0) = f(x)*f(0) = 0, 即 f(x)是常数函数，这与f'(0) = 1 矛盾。所以 f(0) = 1
因为 f'(0)存在， 所以 f(x) 在x=0处连续。 所以 任给 x0, 当 a--> 0 时， f(x0 +a)=f(x0)*f(a) --> f(x0)*f(0)=f(x0) 。所以f(x) 在处处连续。
下面说明
1. f(x) 不等于0， 否则，如果 f(x0) = 0, 则 f(0)=f(x0)*f(-x0) =0, 矛盾。
2. f（x) > 0:
f(x) = f(x/2)*f(x/2) > 0
3.对m,n正整数， f(m/n) = f(1)^(m/n)
f（1） = f(1/n)*f((n-1)/n) = f(1/n)* ...*f(1/n) = f(1/n)^n
==> f(1/n) = f(1)^(1/n)
f(m/n) = f（1/n）* ...*f(1/n) = f(1/n)^m = f(1)^(m/n)
4. f(x) = f(1)^x
上面说明了此式对正有理数成立。根据连续性，对任何 x>0, 有 f(x) = f(1)^x
对于 x<0, 1=f(0) = f(x)*f(-x) , 所以 f(x) = 1/f(-x)=1/f(1)^x=f(x)^x.
5. 所以 f'(x) = ln(f(1))*f(1)^x, 由 f'(0) = 1 得 ln(f(1))=1 ==> f(1) = e = 2.7...
所以 f(x) = e^x ===> f'(x) = f(x)
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