利用定义法判定函数f(x)=x+√(X^2+1) 在R上的单调性

Question

利用定义法判定函数f(x)=x+√(X^2+1) 在R上的单调性。
目前我能百度到的答案都是错误的或是不完整的。
请用函数的单调性来求解，并附详细过程。

Answer 1

【注：(1)易知，a²+1＞a²≥0.∴√(a²+1)＞|a|≥-a.即√(a²+1)＞a.同理，√(b²+1)＞-b.两式相加得√(a²+1)+√(b²+1)+(a+b)＞0.该不等式两边同除以√(a²+1)+√(b²+1),得1+(a+b)/[√(a²+1)+√(b²+1)]＞0.(2)分子有理化可得：√(a²+1)-√(b²+1)=[(a²+1)-(b²+1)]/[√（a²+1)+√(b²+1)]=(a+b)(a-b)/[√(a²+1)+√(b²+1)].】解：可设-∞＜b＜a＜+∞.则a-b＞0,且f(a)-f(b)=[a+√(a²+1)]-[b+√(b²+1)]=(a-b)+[√(a²+1)-√(b²+1)]=(a-b)+(a²-b²)/[√(a²+1)+√(b²+1)]=(a-b){1+(a+b)/[√(a²+1)+√(b²+1)]}＞0.即f(a)-f(b)＞0.即f(b)＜f(a).∴由函数单调性定义可知，函数f(x)在R上递增。

Answer 2

过程我打不出来，随便写一点 设x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+√(X1^2+1)-√(X2^2+1)
关键就是在后面的化简上，我只能提示你将它写成一个分式，分母是1，然后上下同时乘以√(X1^2+1)-√(X2^2+1) 后面的就不用我说了

Answer 3

令x1>x2则
f(x1)-f(x2)=x1-x2+(x1^2+1)^0.5-(x2^2+1)^0.5
=x1-x2+(x1^2-x2^2)/[(x1^2+1)^0.5+(x2^2+1)^0.5]
=x1-x2+[(x1+x2)(x1-x2)]/[(x1^2+1)^0.5+(x2^2+1)^0.5]
>0
函数在R上为增函数

Answer 4

令x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+√(X1^2+1)-√(X2^2+1)
=x1-x2+(√(X1^2+1)-√(X2^2+1))(√(X1^2+1)+√(X2^2+1)）/(√(X1^2+1)+√(X2^2+1))
=x1-x2+(x1^2-x2^2)/(√(X1^2+1)+√(X2^2+1))
=(x1-x2)[1+(x1+x2)/(√(X1^2+1)+√(X2^2+1)]<0
所以是减函数