函数的单调性和奇偶性练习
一、选择题
1．奇函数f(x)在R上递减，对于实数a有 ，则a的取值范围是（）
A．（-∞，-1）
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．（-1，0）
2．已知函数y=f(x)是偶函数，又当x<0时，f(x)是增函数，又对于 、 时有 ，则（）
A．
B．
C．
D．大小关系不定
二、解答题
3．试判断函数 在（-1，0）内的单调性。
4．已知函数 是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3，求a、b、c、的值。
5．设函数 的定义域是[n，n+1]（n∈N），求f(x)的值中共有多少个整数。
6．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•f(y)且f(0) ≠0，求证：f(x)是偶函数。
7．已知 是奇函数，且x∈[-1，1]，试判断它的单调性，并证明你的结论。
8．已知 ，求证f(x)是奇函数。
9．求证： 在[-1，1]上不是单调函数。
10．研究函数 的单调性。
11．已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b（a>b）成轴对称。求证f(x)是周期函数。
12．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，试用a表示f(12)。
13．判定下列四个结论的对错，并说明理由。
（1）偶函数的图象一定与y轴相交；
（2）奇函数的图象一定通过原点；
（3）偶函数的图象关于y轴对称；
（4）即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0且x∈R。
14．已知函数 在区间 上是减函数，求实数a的取值范围。
15．如果函数f(x)的定义域为 ，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。
（1）证明： ；
（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。
16．已知 且
（1）设g(x)=f[f(x)]，求g(x)的解析式；
（2）设ψ(x)=g(x)-λf(x)，试问：是否存在实数λ，使ψ(x)在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数。
参考答案
1．D由 得 ，又∵f(x)在R上递减，∴ ，解得-1<a<0。故选D。
2．C由已知 ，∴ ，又f(x)在（-∞，0）为增函数，故 ，∵ ， ，∴ ，再利用f(x)为偶函数，则 ，故 。故选C。
3．解：设 ，则
∵ ，
∴ ， ， ， 。
∴ ，
即 。
故函数 在（-1，0）内是增函数。
4．解：由 。又f（1）=2，即a+1=2b。而f(2)<3，即 ，解得 ，又a∈Z，
∴a=0或a=1。若a=0，则 ，不合题意；若a=1，则b=1∈Z，故a=b=1，c=0。
5．解：∵ ，f(x)在[n，n+1]上是增函数， ，由此值域中共有2n+2个整数。
6．证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f(0)•f(0)
因为f(0) ≠0，所以f(0)=1，令x=0，则有f(y)+f(-y)=2f(0)•f(y)，所以f(-y)=f(y)
即f(x)为偶函数。
7．证明：由于x∈[-1，1]，且f(x)为奇函数。
∴
∴ ，设
则
∴f(x)在[-1，1]上是单调递增的。
8．证明：
当x>0时，-x<0，
∴ ；
当x<0时，-x>0，
∴ ；
当x=0时， 。
故函数f(x)是奇函数。
注：作函数
的图象如图所示，不难看出函数的图象关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数。
9．证明：设 ，则 ①
于是，当 时， ，则①式大于0；
而当 时， ，则①式小于0。
故 在[-1，1]上不是单调函数。
10．解：任取 且
∵
∵ ，且
∴ ， ，
∴当a>0时，f(x)为减函数；
当a=0时，f(x)为常数函数；
当a<0时，f(x)为增函数。
11．证明：∵f(x) 图象关于直线x=a和x=b成轴对称，
∴f(x)=f(2a-x)，且f(x)=f(2b-x)。
∴f(2a-x)=f(2b-x)。
令t=2b-x，得2a-x=t+2a-2b。
故f(t+2a-2b)=f(t)。
∴f(x)是以T=2（a-b）为一个周期的周期函数。
12．解：（1）要证f(x)为奇函数，需证f(-x)=-f(x)。
即证f(-x)+f(x)=0。
在原式中，取y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)。
故只需证f(0)=0。令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
故f(x)是奇函数。
（2）已知f(-3)=a，由（1）可知f(3)=-a。再由所给等式特征可知，欲求f（12），需求f(6)，即需求f（3）。而这是已知的。
在原式中取y=x，可得f(2x)=2f(x)，
因此，f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a。
13．解：（1）是错的。如果函数 中x≠0，其图象与y轴不相交。
（2）是错的，如奇函数 中x≠0，它的图象不过原点。
（3）是对的。这是偶函数的图象的特点。
（4）是错的。如函数 既是奇函数又是偶函数，且f(1)=0，但定义域是集合{-1，1}。
14．解： ，此二次函数对称轴为x=1-a，所以，f（x）的单调减区间为 ，因为f(x)在 上是减函数，所以对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合。
所以1-a≥4，a≤-3。
15．解：（1）∵
∴
（2）∵f(3)=1，f(a)>f(a-1)+2
∴ ，∴
∵f(x)是增函数，
∴ ，∴ ，又a>0，a-1>0
∴a的取值范围是 。
16．解：（1）由已知得 ，
∴ ，
∴c=1，故 ，
（2）∵
又
设 ，则 ，
当4-λ≥0即λ≤4时，ψ(x)在（-∞，-1）上是减函数。
同理，当λ≥4时，ψ(x)在（-1，0）上是增函数。
综上可知，当λ=4时，ψ(x)在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数。