莱布尼茨方程,即常微分方程y'=x^2+y^2.语言表述为"求这样一个函数,它的导数等于自变量与因变量的平方和".
牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本定理，其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。从几何上看，它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系。下面就是该公式的证明全过程：
我们知道，对黎曼(Riemann)可积函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为： b(上限)∫a（下限）f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数： Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt 接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质： 命题1：定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ(x)连续。当f(x)连续时，有Φ’(x)=f(x)。 证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt， 利用区间可加性，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 若m和M分别是f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值，利用定积分第一中值定理，存在[m,M]中的实数η，使得 ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=η•Δx。 进一步，当f(x)连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ，使得η=f(ξ)。 于是当Δx趋向于0时，ΔΦ趋向于0，即Φ(x)连续。 若f(x)连续，那么当Δx趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)，从而得出Φ’(x)=f(x)。 命题2：若f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，那么b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)。 证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)。 注意到Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C， 于是有Φ(x)=F(x)-F(a)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a)，这就得到了牛顿-莱布尼茨公式。 注意： 1) 上述命题2中f(x)的连续性可以削弱为f(x)在[a,b]上Riemann可积，这个结论也称为微积分第二基本定理，证明则相对复杂一些，需要从Riemann积分的定义出发来完成。 2) f(x)是Riemann可积的不能保证f(x)的原函数F(x)存在，即不一定存在F(x)使得F'(x)=f(x)，例子是Riemann函数。 3) F(x)在(a,b)处处有有界导数不能保证F'(x)在[a,b]Riemann可积，例子是Volterra函数。 《牛顿——莱布尼兹公式的图解》 ——该公式的几何(意义）说明 多数人对，牛顿——莱布尼兹公式，是有一些误解的。还是先看一看该定理的内容：设函数f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，F(x)是它在闭区间[a，b]上的任意一个原函数，则有：∫a↑bf(t)dt = F（b）- F（a）
首先，许多人都仅知道，y=f(x)是积分上限函数s= φ(x)= ∫a↑x f(t)dt (a≤x≤b)；在理解F(x)是它在闭区间[a，b]上的任意一个原函数，就出问题了！不会运用哲学的眼光看问题，并且对函数的理解也不到位。马克思主义哲学指出：任何事物都与周围的事物互相联系着。说F(x)是它在闭区间[a，b]上的任意一个原函数，是在一个特定的区间上[a，b]。可是在这个特定区间上，能够满足条件y=f(x)是其积分上限函数的函数多的是呢！而且它们的区间可以比[a，b]的要大一些。 如图 S=F(x)=∫c↑bf(t)dt (c≤x≤b）所以说F(x)是它在闭区间[a，b]上的任意一个原函数，是指F(x)在闭区间[c，b]里面的一部分子区间，即闭区间[a，b]。
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