不定积分,三角代换

Question

如题所述

Answer 1

一、√(a²-x²) 通常用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。

二、√(x²-a²)通常用x=a*sect ，∵x²-a² = a²sec²t-a²= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t
sec函数和tan函数的连续区域一致，t的范围取0≤t≤π/2，sect的值从1~+∞，对应tant的值从0~+∞，也可以直接去掉根号，无需讨论正负。

三、总结：只要换元为三角函数后的角度变量取值合适，这两种换元都可以无需讨论去掉根号后的正负问题。

扩展资料：

在许多三角问题的求解中，合理的运用代换方法解题，将会使求解过程简单化，甚至使一些很难求的问题快速求解。常见的三角代换类型如下：

1.如果条件中有  ，则可设  ，  ；

2.如果条件中有  或者  ，则可设  ，  ；3.如果条件中有  ，则可设  ；

4.如果条件中有  ，则可设  ；

5.如果条件中有  ，则可设  且  。

解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程。而“三角代换法”则是实现这种转化的重要手段之一。

它的策略思想是：根据题目的结构特征，引进三角代换，利用三角知识解题的一种方法。用这种方法解某些数学题，往往能化繁为简，变难为易，得到简捷合理的解题途径。

参考资料：百度百科——三角代换