设π为利润，Q为厂商产量，TR为厂商总收益，TC为厂商总成本，则π(Q) = TR(Q) -TC(Q)。
（1）利润最大化的必要条件是π对Q的一阶导数为零，而TR对Q的一阶导数就是边际收益MR，就是边际成本MC。所以，当MR=MC，即边际收益等于边际成本时，利润最大化。
（2）利润最大化要求π的二阶导数为负数，表示利润最大化要求边际成本函数的斜率要大于边际收益函数的斜率。一般在不同的市场结构中边际成本函数的斜率为正值，而边际收益函数的斜率在完全竞争市场中为零，在不完全竞争市场中为负值。
因 f(x) 是分段函数，所以 φ(x) 也要分段计算：
当 0≤x≤1 时，
φ(x) = ∫[0,x]t²dt = x³/3+C；
当 1<x≤2 时，
φ(x) = ∫[0,1]t²dt +∫[1,x]tdt = 1/3+(x²-1)/2+C1，
而 φ(x) 应在 x=1 连续，由此可求出 C1=C，故得
φ(x) = x³/3+C， 0≤x≤1；
= 1/3+(x²-1)/2+C，1<x≤2。
二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率
（2）函数的凹凸性。
（3）判断极大值极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
扩展资料：
对MR=MC这一利润最大化原则，可用数学推导加以证明：
设π为利润，Q为厂商产量，TR为厂商总收益，TC为厂商总成本，则
π(Q)=TR(Q)−TC(Q)
利润极大化的必要条件是π对Q的一阶导数为零。
而TR对Q的一阶导数就是边际收益MR，同样，就是边际成本MC。所以，当MR=MC，即边际收益等于边际成本时，利润极大。
利润最大化的充分条件还要求π的二阶导数为负数，即它表示，利润最大化要求边际成本函数的斜率要大于边际收益函数的斜率。一般来说，在不同的市场结构中，边际成本函数的斜率为正值，而边际收益函数的斜率在完全竞争市场中为零，在不完全竞争市场中为负值。
参考资料来源：百度百科-利润最大化