多元函数的本质在于描述两个集合之间的一种确定的对应关系，这些集合的元素可以是数字、几何图形（如点、线、面、体）、向量或矩阵等。这种关系可以是单值的，即每个输入对应一个唯一的输出，也可以是多值的，即一个输入可能对应多个输出。最常见的函数，包括中学数学教科书中定义的“函数”，除非特别说明，通常指的是一元单值实变函数。
一个多元函数，如f：G→U，定义为当每个点（x1, x2, ..., xn）在定义域G中时，通过规则f与唯一的元素u在值域U中对应。例如，点（x1, x2, ..., xn）在Rn中的每个实例，都会有一个确定的U中的值u=f(x1, x2, ..., xn)。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。幂函数如y=xμ（μ≠0），定义域根据μ的不同而变化；指数函数y=ax（a>0, a≠1）定义为所有实数，且值域为（0, +∞）；对数函数y=logax（a>0）定义域为（0, +∞），值域为全体实数。这些函数在图像上都有特定的性质和特征。
三角函数和反三角函数，如正弦、余弦和反正弦等，是数学中常见的工具，它们的图像和性质在图表中有所展示，例如图6和图7所示。双曲函数则包括双曲正弦、双曲余弦等，具有独特的性质。
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是下标。下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。二元及以上的函数统称为多元函数。