外心到三角形什么的距离相等如下：
三角形的外心是各边中垂线的交点（是外接圆的圆心），所以到各顶点的距离相等，三角形的内心是各角平分线的交点（是内切圆的圆心），所以到各边的距离相等。
1.外心到三角形的距离相等。
外心到三角形的距离相等是指，如果三角形的三条边外接圆的圆心叫做外心，那么外心到三角形的三个顶点的距离是相等的。这个性质在几何学中有着重要的应用和意义。
2.什么是外心？
外心是一个与三角形有关的特殊点。定义是：在一个三角形的三条边上分别取中垂线，它们的交点就是三角形的外心。外心具有一些独特的性质，其中之一就是外心到三角形三个顶点的距离相等。
3.外心到顶点的距离相等的证明
在三角形ABC中，假设D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，点O是三角形ABC的外心。我们来证明OD=OE=OF：
首先，连接OA、OB、OC，假设OA与BC的交点为P，OB与AC的交点为Q，OC与AB的交点为R。
根据外心的定义可知，OA、OB、OC是三个边的中垂线，因此OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。
由于三角形ABC是一个等腰三角形，所以AP=PB，BQ=QC，CR=RA。又因为OA⊥BC，所以OAP和OBP是直角三角形。
根据勾股定理可知，OP²=AP²+OA²，同理，OQ²=BQ²+OB²，OR²=CR²+OC²。
由于AP=PB，BQ=QC，CR=RA，所以AP²=PB²，BQ²=QC²，CR²=RA²。
因此，OP²=AP²+OA²=BP²+OA²=OB²+OA²=OQ²=OR²。
根据勾股定理的逆定理可知，OP=OB，OQ=OR。
而OAP和OBP是直角三角形，所以DP⊥OP，EP⊥OQ，FP⊥OR。
因此，OD=DP，OE=EP，OF=FP。
最后，根据OD=DP，OE=EP，OF=FP可知，OD=OE=OF，即外心到三角形的顶点的距离相等。
4.外心到顶点的距离相等的应用
外心到三角形的顶点的距离相等是一个重要的几何性质，在几何学和相关学科中有着广泛的应用。
其中之一是在三角形的外接圆问题中。外接圆是通过三角形三个顶点的圆，外心就是外接圆的圆心。利用外心到顶点的距离相等的性质，我们可以求解三角形外接圆的半径和方程，进而解决与外接圆相关的问题。
此外，在定位和测量领域中，也会利用外心到顶点的距离相等的特性进行测量和定位。例如，通过测量外心到三角形顶点的距离，可以确定物体的位置和方位，实现定位和导航。
5.结论
外心到三角形的距离相等是一个重要的几何性质，具有广泛的应用。通过定义、证明和应用的介绍，我们可以理解外心到顶点的距离相等的概念及其意义，以及在实际问题中的应用价值。这个性质在三角形的研究和相关领域中起着重要的作用，帮助我们更好地理解和利用三角形的特性。