线性代数习题

Question

线性代数习题行列式的计算，矩阵

Answer 1

题1

方法1：D2中的矩阵，与D1中的矩阵，是相似矩阵，满足特征值相同，因此行列式相等。

方法2：行列式D1，

第2行乘以b,第2列除以b,

第3行乘以b^2,第3列除以b^2,

...

第n行乘以b^(n-1),第n列除以b^(n-1),

即可得到行列式D2，而每一步变换，行列式都不变，因此两者相等

题3

第2~n+1列，加到第1列，然后提取第1列公因子x+a1+a2+...+an

第2~n+1列，分别减去第1列的a1,a2,...,an倍，化成下三角行列式

然后主对角线元素相乘，即可得到

(x+a1+a2+...+an)(x-a1)(x-a2)...(x-an)

题5

设矩阵A是题中括号中的矩阵的n倍，则

本题是求矩阵(A/n)的平方(A/n)^2=A^2/n^2,

直接按照矩阵乘法定义，得到A^2=

n(n-1) -n -n ... -n

-n n(n-1) -n ... -n

-n -n n(n-1) ... -n

...

-n -n -n ... n(n-1)

=nA

则最终所求矩阵是

A^2/n^2=nA/n^2=A/n （实际上就是题中括号中的矩阵）

=

(n-1)/n -1/n -1/n ... -1/n

-1/n (n-1)/n -1/n ... -1/n

-1/n -1/n (n-1)/n ... -1/n

...

-1/n -1/n -1/n ... (n-1)/n

Answer 2

(1)
对D2做如下初变换
第2行除以b，第2列乘以b
第3行除以b^2，第3列乘以b^2
第4行除以b^3，第4列乘以b^3
...
第n行除以b^(n-1)，第n列乘以b^(n-1)
即得到D1
(3)
从第n行到第2行，每行减去上一行
x　　　a1　　　a2　　　a3　　 ...　　　an
a1-x　 x-a1　 　0　　　0　　　...　　　0
0　　　a2-x　　x-a2　　0　　　...　　　0
...
0　　　0　　　0　　　0　　　...　　　x-an
从第2列到第n列，每列加上一列
x　　　x+S1　 x+S2　 x+S3　　...　　　x+Sn
a1-x　　0　　　0　　　0　　　...　　　0
0　　　a2-x　　0　　　0　　　...　　　0
...
0　　　 0　　　0　　　0　　　...　　　0
其中：Si=a1+a2+a3+...+ai
即得结果：(x+Sn)(x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)
(5)
设n阶矩阵A的元素都是1
则有：A^2=nA
原式=(E-A/n)^2=E-2A/n+A^/n^2=E