伯特兰-切比雪夫定理伯特兰—切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p，符合n < p < 2n − 2。另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n < p < 2n。 1845年约瑟·伯特兰提出这个猜想。伯特兰检查了2至2至3×10^6之间的所有数。1850年切比雪夫证明了这个猜想。拉马努金给出较简单的证明，而保罗·艾狄胥则借二项式系数给出了另一个简单的证明。[编辑本段]证明在证明 Bertrand 假设前我们先来证明几个辅助命题。 引理 1： 设 n 为一自然数， p 为一素数， 则能整除 n! 的 p 的最高幂次为： s = ∑i≥1 n/pi (式中 x 为不大于 x 的最大整数)。 证明： 能整除 n! 的 p 的最高幂次显然等于从 1 到 n 的各自然数中 p 的最高幂次之和， 即 s = ∑1≤i≤n si (其中 si 为能整除 i 的 p 的最高幂次)。 现在将从 1 到 n 的所有 (n 个) 自然数排列在一条直线上， 在每个数字上叠放一列 si 个记号， 显然记号的总数是 s。 关系式 s = ∑1≤i≤n si 表示的是先计算各列的记号数 (即 si) 再求和。 但我们也可以先计算各行的记号数再求和， 由此得到的关系式正是引理 1。为了证明这一点， 我们从数字所在的直线开始自下而上计数。很明显所有第一行有记号的数字都含有因子 p (因为否则的话 si = 0， 没有记号)，这种数字的总数 (也就是该行的记号总数)是 n/p ； 第二行有记号的数字都含有因子 p2 (因为否则的话 si √2n，则s≤1；(c) 若 2n/3 m， 2n/pi - 2 n/pi = 0 - 0 = 0。因此推论 1.1 中的求和止于 i = m， 共计 m 项。 由于 2x - 2 x ≤ 1， 因此这 m 项中的每一项不是 0 就是 1， 其求和结果不超过项数本身， 即 s ≤ m， 因此 ps ≤ pm ≤ 2n。 (b) 因为 p > √2n 表明 p2 > 2n， 因此由 (a) 可得 s ≤ 1。 (c) 因为 n ≥ 3 及 2n/3 2n，因此推论 1.1 中的求和只有 i = 1 一项， 即： s = 2n/p - 2 n/p 。 由于 2n/3 2)， 我们来证明 n = N 的情形。 如果 N 为偶数， 则 ∏p≤N p = ∏p≤N-1 p， 引理显然成立。 如果 N 为奇数， 设 N = 2m + 1 (m ≥ 1)。 注意到所有 m + 1 4， 但后面我们会看到， 我们的整个方法只适用于 n ≥ 50， 因此我们其实是假定 n ≥ 50， 对 50 以下的情形只需直接验证即可)， 并利用推论 1.2(b) 可得： (2n)!/(n!n!) ≤ ∏p≤√2n ps(p) · ∏√2n p ≤ ∏p≤√2n ps(p) · ∏p≤2n/3 p 该乘积中的第一组的被乘因子数目为 √2n 以内的素数数目，即不多于 √2n/2 - 1 (因偶数及 1 不是素数)， 而每个因子按照推论 1.2(a) 均不大于 2n， 因此该组乘积不大于 (2n)√2n/2-1。 第二组乘积按照引理 2 小于 42n/3， 由此得到： (2n)!/(n!n!) 6， 至少存在一个 4k + 1 型和一个 4k + 3 型素数 p 使得 n N 至少存在 k 个素数 p 使得 n < p < 2n
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