复合函数单调性的讨论，

Question

如题所述

Answer 1

g(x)=x²ï¼›  f(x)=x²-2x+1=(x-1)²ï¼›è®¨è®º f[g(x)]的单调性。

解：g(x)在(-∞，0]内单调减；在[0，+∞)内单调增；

f(x)在(-∞，1]内单调减；在[1，+∞)内单调增；

故按【同增异减】原理，可知f[g(x)]的增减性：

在(-∞，0]单调增；在[0，1]内单调减；在[1，+∞)内单调增。

追问

你好

这道题讨论错了

这里需要考虑x的平方变成f（x）,需要考虑原自变量的正负在平方下的大小变化，一共有四个区间，

追答

你把图好好看看吧。

追问

真的不是那么简单的，这是老师专门讲的

我把函数复合以后得图像用计算机画出来和他讲的是一致的，而并不是一开始认为的那样

可是我还是不太理解

追答

我是按照【同增异减】原理作的回答，当时没有动手画实际的图形。

你画的是对的。这就提出了一个问题：所谓【同增异减】原理可以无条件使用吗？

Answer 2

一般的平面直解坐标系函数有两个变量，按照函数的定义：如果变量x确定一个值，那么就有唯一的一个y与之对应。我们变量x为自变量；y称之为因变量，也称为x的函数，也记为f(x)。
而复合函数其实质是在自变量和函数之间多了一个中间变量，我们这里给它记为u或g(x)，而y变为f(u)或f(g(x)).
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
根据y—u—x，或f(u)-g(x)-x之间的映射关系，当x增大时，g(x)增大，称g为增函数，当u增大时，f(u)增大，也称f为增函数，则x增，g(x)增，f(g(x))增，即有x增，y增，所以复合函数是增函数，这就是所谓的增增得增.
类似地，当x增大时，g(x)减小，称g为减函数；当u减小时，f(u)增大，也称f为减函数，则x增，u减，y增，即有x增，y增，所以复合函数也是增函数，这就是所谓的减减得增.
又x增，g(x)增，称g为增函数；当u增，f减，称f为减函数，则x增，u增，y减，即有x增，y减，所以复合函数也是减函数，这就是所谓的增减得减.
反之x增，g(x)减，称g为减函数；当u减，f减，称f为增函数，则x增，u减，y减，即有x增，y减，所以复合函数也是减函数，这就是所谓的增减得减.
其原理与有理数相乘的法则类似，同号得正，异号得负；这里是同向增，异向减.

Answer 3

解，f(g(x))=(x^2-2x+1)^2
则f'(g(x)=2(x^2-2x+1)(2x-2)
而x^2-2x+≥0，则
x≥1，f'(g(×)≥0，f(g(x))↑
x<1，f(g(x))↓。

Answer 4

增增得增
减减得增
增减得减
减增得减

Answer 5

g（x）=x²,f（x）=x²-2x+1,则令x²=t,则t≥0，所以原式=t²-2t+1,f′（t）=2t-2,令f′（t）=0,所以t=1,则f（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增。