复合函数图像 如何画?如何解? 请举例

Question

如题所述

Answer 1

1. 如何画复合函数的图像：首先，需要知道复合函数的定义。对于两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的复合函数 g(f(x)) 表示将 x 带入 f(x) 中，再将结果带入 g(x) 中得到的函数。因此，要画出复合函数的图像，需要先画出 f(x) 和 g(x) 的图像，然后将 f(x) 的图像代入 g(x) 中得到的函数的图像即可。举例来说，如果要画出函数 h(x) = sin(x^2 + 1) 的图像，可以先画出 x^2 + 1 和 sin(x) 的图像，然后将 x^2 + 1 的图像代入 sin(x) 中得到的函数的图像。具体步骤如下：1) 画出 x^2 + 1 的图像。由于 x^2 的图像是开口向上的抛物线，加上常数 1 后整个图像向上平移单位，因此 x^2 + 1 的图像也是开口向上的抛物线，最低点在 (0,1) 处。2) 画出 sin(x) 的图像。这是周期为 2π 的正弦曲线。3) 将 x^2 + 1 的图像代入 sin(x) 中得到的函数的图像。这一步可以通过逐个代入 x^2 + 1 中的每个点，然后将得到的结果代入 sin(x) 中，最后将所有的结果连成一条曲线得到。2. 如何解复合函数：要解复合函数，需要先将复合函数表示成简单函数的组合，并确定每个组合中函数的定义域和值域。然后，可以将函数的自变量代入复合函数中，得到对应的因变量。举例来说，如果要解函数 h(x) = sin(x^2 + 1)，可以将它表示成 g(x) = sin(x) 和 f(x) = x^2 + 1 的复合函数，即 h(x) = g(f(x))。由于 x^2 + 1 的定义域为实数集，值域为 [1,∞)，而 sin(x) 的定义域为实数集，值域为 [-1,1]，因此 h(x) 的定义域为实数集，值域为 [-1,1]。然后，可以将不同的自变量代入复合函数中求出对应的因变量，比如 h(0) = sin(1)，h(π) = sin(π^2 + 1) 等。

Answer 2

问得好.
●首先,复合函数是函数,这是问题的关键.所以画复合函数的图象,与画一般函数的图象的方法是一样的.即可以用描点法、图象变换法等方法。其中，描点法是主要方法。当然对复杂函数在描点以前，要对函数的定义域(横向分布范围)、值域(纵向分布范围)、奇偶性(对称性)等性态进行讨论。
●其次，有时(极少情况下)我们也采取“各个击破”的方法，在不同坐标系分别画出内函数、外函数、复合函数的图象。并从前两者图象和性质揣摩后者的图象和性质，进一步弄清三者的关系。使解决复合函数问题的思路和方法更加快捷清晰。
●例题
画出复合函数y=log2(1-x^2)的图象。
解析
用描点法。
先讨论函数的一些性质，再取一些特殊点。
1。定义域
1-x^2>0,-1<x<1。
2。值域
1-x^2≤1,y≤0。
3。奇偶性
偶函数。图象关于y轴对称。(先作出y轴右边图形，再作关于y轴的对称图形)
4。算点
图象过点(0，0)，(1/√2，-1)
5。讨论变化趋势
用到极限方法。
x→1-,
1-x^2
→0+,
y→-∞。
结合定义域、奇偶性知，x=±1是图象的两条渐近线。
函数y=log2(1-x^2)图象如图。
函数y=log2(1-x^2)可以看成由(内层)函数t=1-x^2(-1<x<1)和(外层)函数y=log2(t)复合而成的复合函数。如图.