三角函数模型的简单应用：水轮的旋转问题

Question

如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间。 （1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数； （2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？ 补充：1.如何证明z是t的三角函数，而不是其他函数？ 2.可不可以根据z的极值（6与-2），得出周期，算出ω的值？

Answer 1

水轮每分钟转动1圈，每秒转动
1/60
圈，角速度
ω
=
2π
*
1/60
= π/30；
sinφ
=
2/4
=
1/2， φ
= π/6；
(1)、z
=
Rsin( ωt
-
φ)
+
2
=
4sin(
tπ/30 -
π/6
)
+
2；
(2)、tπ/30
-
π/6
=
π/2，t
=
(
π/2
+
π/6
)
*
30/π
=
20；
点p第一次到达最高点需要
20秒；
补充1、z
的大小取决于P(y)；
点P作圆周运动，半径不变，随时间改变的参数只有角度；
所以
z(t)
只能是三角函数
。
2、极值大小与旋转无关，不是
t
的函数，所以不能由极值求得周期和旋转角速度。