分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用
数学分析的方法来研究
随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。
中文名
分布函数
外文名
Cumulative Distribution Function
又称
累积分布函数
作用
描述随机变量的
概率分布定义域
全体实数
定义
设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

称为X的分布函数。有时也记为

。
对于任意实数

,



因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
如果将X看成是
数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间

上的概率。
分布函数的性质
F(x)为随机变量X的分布函数，其
充分必要条件为：[1]
1.非降性
(1)F(x)是一个不
减函数对于任意实数

2.有界性
(2）

从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即

)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有

;又若将点x无限右移（即

)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有

[2]
3右连续性
(3)

;
证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。
为证明右连续，由
海涅定理，只要对单调下降的数列

当

时,
证明

成立即可。 因为 ：


所以得，