多元函数极值点必须满足哪些条件？

Question

如题所述

Answer 1

多元函数极值定理的必要条件是函数在驻点处的一阶偏导数为零，并且二阶偏导数的行列式非负。这些条件是判断极值点的必要条件，但并不一定是充分条件。这就是为什么函数的驻点不一定是极值点。
举个例子，考虑函数$f(x,y)=x3-y3$。该函数的一阶偏导数为$f_x=3x2$和$f_y=-3y2$，驻点为$(0,0)$。计算二阶偏导数得$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=-6y$，则$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}2=-36y2$，在$(0,0)$处这个值等于$0$，不符合定理中的非负要求。因此，驻点$(0,0)$不是$f(x,y)$的极值点。
因此，只有满足定理中的充分条件，才能说明在该点处函数取得了极值。