第1个回答 2017-04-29
一、巩固数学基本知识，夯实解题基石
1.1 巩固数学基本知识的重要性
数学基础知识是解题的基本要素。所谓数学基础知识，是指数学教学大纲中要求掌 握的基本概念、定理、公式、定义、性质、法则等，它们是进行数学演算、推理、解题、 论证的重要依据。如果把解题当作是修建房子的话，那么修建房子的最基本的原材料砖 头就是基本数学知识，没有了最基本的数学知识的积累，正所谓巧妇难为无米之炊，解 题就成为无本之源。如同一间房子的高度取决于砖头的数量和它的摆放方式，解题能力 的高低，也取决于数学知识这块原材料的多少和怎样去运用它。学生只有掌握好数学基 础知识，才能正确思考，理清题目思路，找到解决问题的突破口；只有掌握好数学基础 知识，才能灵活运用所学的知识解决新问题。反之。学生如果没有掌握好数学基础知识， 就会概念不清，思路混乱，问题难以得到解决。可见．如果没有基本的概念和科学的理 论为前提，学生是无法进行推理论证的。如果没有基本的概念和科学的理论为支撑，学 生的数学解题能力就无法得到提高。因此，培养学生的解题能力，一定要从数学基本知 识的教学抓起，完善学生的知识结构。
1.2 巩固数学基本知识的方法
1.2.1 深刻理解数学知识的内涵和外延，明确其适用范围
很多数学知识是从抽象中概括出来的，它也往往只适用于一定的条件和范围。例 如．在均值不等式 a2+b2?2ab 中，取等号的前提是 a 和 b 必须同时相等。因此在数学 概念、定义、公式的教学中，作为教师我们不仅要讲清概念的内涵和外延，弄清概念与 概念之间的区别与联系，还要引导学生从正反几方面提出问题来加深他们对概念的理 解。对于概念的掌握，要对学生提出明确的要求：(1)要求他们懂，要理解得准确、透彻；
(2)要求他们会讲，能用正确的数学语言来叙述这些概念，能用自己的话来通俗地解释这 些概念，有些重要的定义、定理要一字不差地背下来；(3)要求他们会用，运用得熟练。 基础知识掌握好了，解题就有了依赖的基础。只有向学生阐明每条数学规律适用于什么 场合，不适用于什么场合，才可以有效防止学生将相对真理绝对化，将局部经验扩大化。 有助于防止学生张冠李戴。牢记在什么条件下, 在什么背景下可以用到这些知识。这是 知识转化为能力的一个重要办法。
1.2.2 网络化系统化知识点，形成结构化知识
心理学研究发现，只有结构化的知识才是有用的知识。知识的系统化，首先要求教 师在教学每个知识点时，应当把它们放在一个大的结构框架中，重视对教材内容进行结 构分析，使学生对所学知识有良好的整体感。为使学生头脑里的知识形成良好的结构，
还应加强知识间的比较和类比，揭示不同知识的共同性和相似知识的差异性。同时，教 师应在课堂上注意提出需要广泛联想、需要多个知识点加以联系和概括的问题。另外， 综合性习题和一题多解的训练是促进不同知识相互沟通的好方法，利用多个知识点和多 种方法求解同一问题，可以使学生学到的知识纵横联系、相互贯通，从而使头脑中的知 识结构得到优化和改善。最后，学生要做到下面三个系统化：
单元知识系统化，就是把相对独立的每个教学单元和知识内容加入归纳，总结使之 系统化，教科书后面的单元小结，应很好的利用。专题知识系统化，主要是指在复习中， 打破教科书的章节体系，把同一性质，同一类别的知识归纳在一起，使之成为一个系统， 如把初中数学中的一次方程，二次方程，分式方程都可以归类到方程这一个大系统中去。 学科知识系统化，总是从总体上把握学科的知识结构，即把一个学科看做一个系统，这 一系统由几个子系统组成，每个子系统两分成几个更小的子系统??直至充分地涵盖这 一学科的所有知识。如高中数学，可以分为代数和几何，就几何而言又分为立体几何和 解析几何，而立体几何和解析几何又分为若干个知识点。通过学科知识的系统化我们可 以深刻知道各个知识系统之间的内在联系，有助于做题时举一反三，触类旁通。
1.2.3 经常运用所学知识做到熟能生巧
俗话说"熟能生巧"。一个人如果对所学的知识比较生疏，在应用时就会缺乏灵活
性。反之，如果一个人通过训练对知识的各个方面都熟练掌握并紧密结合，达到自动化 的程度，则会使解决问题的思维更加流畅。
现代教学心理学对专家解题的研究表明，问题解决能否成功或快速，往往取决于主 体的头脑中是否有相应的或类似的知识。
二、加强审题能力培养，提高解题效率
好的开始是成功的一半，解题的前提首先要明确问题是什么，因此在数学解题过程 中我们要认真审题。审题正确与否是问题能不能解决的关键，那么怎么才能提高审题能 力呢？
2.1 培养学生认真审题的习惯
数学题目都包括已知条件和要解决的问题两个组成部分，这是解题的依据，因此， 解题首先要认真审题，弄清题目的两个组成部分.数学习题教学中应强调审题的重要性并 要求学生养成认真审题的习惯一 般来说，题目中的已知、未知条件比较复杂或者说不 明显，审题时往往要考虑把题目的已知、未知化简，或者把问题转化为简单易解或已有 典型解法的问题.如果题目没有明显给出条件，而且有隐蔽条件，那么就需要根据题外的 已知定理、公式或条件去解决。
2.2 提高学生审题能力的策略
（ 1）培养学生的观察能力。如果说审题是解题成败的关键，那么观察则是审题成 败的关键。因此，数学过程中可以通过培养学生的观察能力，引导学生善于抓住题目中 数与式的特征，注意各条件，各量之间关系，提高学生的审题能力，迅速找到简捷合理 的问题途径。 （ 2）培养学生的理解联想能力。任何知识的理解和掌握，智力的提高，能力的培 养，都离不开对概念的深层挖掘，因而概念题也成为高考题中的一个热点，而且常考常 新，突破概念表面，又以概念为根本，深人考查学生的理解能力和对概念的运用能力。 （ 3）提高语言转化能力。数学语言包括文字语言，符号语言和图象语言。不同的 语言有不同的功能。将文字语言、符号语言转化成图象语言，有利于用图象的直观性， 找到简捷的解题途径; 将符号语言转换成文字语言有利于弄清其实质，从而找到简捷的 解题途径。 （ 4）发展直觉思维能力。数学直觉是人脑对数学对象的某种迅速而直接的洞察或 领悟，数学直觉的主要特征是: 非逻辑性，自发性和 " 不可理解性" ，它能在一瞬间 迅速解决问题。数学直觉以高度省略，简化，浓缩的方式洞察问题的实质，对培养学生 的数学思维能力，增强数学领悟极其可贵，正如爱因斯坦所说: " 真正可贵的因素是直 觉" 。培养学生的直觉思维能力必须捕捉有关信息，根据解题经验，大胆做出直观判 断，从而找到准确、简捷的解题途径。
2.3 训练学生审题过程的规范性
一般说来，规范的审题过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解 题思路与方法三部分。
( 1) 条件与目标的分析。所谓条件的分析: 一是找出题目中明确告诉的已知条件， 二是发现题目的隐含条件并加以揭示。所谓目标的分析，主要是明确要求什么或要证明 什么;把复杂的目标转化为简单的目标; 把抽象目标转化为具体的目标; 把不易把握的 目标转化为可把握的目标。
(2) 分析条件与目标的联系。每个数学问题都是由若干条件与目标组成的。解题者 在阅读题目的基础上，需要找一找从条件到目标缺少些什么? 或从条件顺推，或从目标 分析，或画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系，以顺利实现 解题的目标。
(3) 确定解题思路。一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联 系是由条件通向目标的桥梁。用哪些联系解题，需要根据这些联系所遵循的数学原理确 定。解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配。有些题目，这种联系十分隐 蔽，必须经过认真分析才能加以揭示; 有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题
有多种解法的原因。综上所述，我认为为适应当今高考需要，消除学生对数学科目的盲 目恐惧心理，必须注重基础知识传授过程中，还应在习题分析过程中注重培养学生的审 题能力。
三、掌握数学思想方法，提高解题技能
3.1 中学常用数学思想
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维 活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思 想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用 文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思 想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认 识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知 识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓，就 能大大提高学生的解题能力。在中学阶段，学生要熟练掌握下面几个数学思想： （ 1）函数与方程的思想。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化 问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件 转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组） 或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决 问题的目的。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所 以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关 系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析； 含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用 问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解 答；等差、等比数列中，通项公式、前 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题 也可以用函数方法解决。 （ 2）数形结合思想。数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数"和"以数 辅形"两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明 数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的 性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段， 形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数 问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形
结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义 以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意 义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第 三是正确确定参数的取值范围。
（ 3）分类讨论思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对 各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种 逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、 积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、 综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不 遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是"不漏不重"。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论 对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、 分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后 进行归纳小结，综合得出结论。
（ 4）等价转化思想方法。等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可 解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转 化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要 不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维 能力和技能、技巧。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原 则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、 复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分 式到整式?等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准 确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这 些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可 以提高解题的水平和能力。
3.2 中学常用数学方法
除了要掌握上面的几个基本数学思想，还要培养学生掌握下列几个中学中常见的数 学方法，才能提高解题的速度与效率。
（ 1）配方法。配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成"完全平方"）的技巧， 通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且 合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧，从而完成配方。有时也将其称为
"凑配法"。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或 者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy
项的二次曲线的平移变换等问题。
（ 2）待定系数法。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使
用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化 为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题 是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、 拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有 确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形 式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组； 最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形 式，得到所求圆锥曲线的方程。
（ 3）换元法。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从 而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据 是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非 标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系 起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复 杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在 研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在 已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有 时候要通过变形才能发现。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变 量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
（ 4）数学归纳法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推 理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步 是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，
再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密
切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定"对任何自然数（或 n?n 0且 n?N） 结论都正确"。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是 n＝k＋1 时命题成立的推证，此步证明要具有 目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向， 使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三 角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
（ 5）反证法。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推 理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或 者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论， 从而使命题获得了证明。
反证法的证题模式可以简要的概括我为"否定?推理?否定"。即从否定结论开始， 经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是"否 定之否定"。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 ? 推导出矛盾 ? 结论成立。
在应用反证法证题时，一定要用到"反设"进行推理，否则就不是反证法。用反证
法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以， 这种反证法又叫"归谬法"；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况 一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫"穷举法"。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过："反证法是数学家最精当的武器之 一"。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以"否定形式"、"至少"或 "至多"、"唯一"、"无限"形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题； 或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能 解决得十分干脆。
四、培养解题反思习惯，提高解题能力
美国数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中说过这样一句话：如果没有了反思， 他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。" 数学教育家弗莱登塔尔也曾经指出， "反思是重要的数学话动，它是数学活动的核心的动力，是一种积极的思维话动和探索 行为，是同化，是探索，是发现，是再创造。"在数学教学中积极指导学生开展解题反 思，培养他们的反思能力，有助于学生对客观事物中所蕴涵的数学模式进行思考，从而 帮助他们从题海中解脱出来，更加清晰地认识问题、理解问题；有利于学生巩固、同化 新知识，准确把握新旧知识间的内在联系；有利于学生选择合理、简捷的解题途径，并 发现新的规律加以推广与延伸；有利于提高学生的数学思维能力、解题能力。 （ 1）反思审题过程，确定解题关键，培养挖掘隐蔽条件的能力。
审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何,直接影响到解题的成败。审题的基本要 求是弄清题目的条件和结论。对一些简单的基本题,只要认真审题,一般来说并不困难。
然而对于那些要求综合或灵活运用知识来解答的题目,审题的要求就比较高了。学生把问 题解答后，教师要指导学生反思审题过程，在反思过程中要考虑：这个题求什么？知道 什么？知、求之间有什么关系？学过什么？解这样的题目要用到哪些知识？有什么样的 常规方法？有没有特殊的方法？??等等。通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路 显得自然、有条理了。即使有些学生刚开始拿到问题无从下手,不能解答，但通过参与审 题思路的反思讨论，也能够清楚困难是什么，如何转化条件，从而解决问题。 （ 2）反思解题方法，优化解题过程，寻找解决问题的最佳方案。
不少学生觉得自己做了很多题却感到能力没有明显提高，产生这一疑惑的原因在于 学生在解题时往往满足于做出题目，而对于自己的解题方法的优劣，却从来不加以评价， 作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分 等不足，这是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不 高的表现，因此，教师要有意识地启发、引导学生及时反思自己所选择的解题方法是怎 么想到的？是否还有其他解法？你选的方法是不是最合理、最简洁、巧妙的？你的解法 还能不能再作些改进与优化？要引导学生重新审视自己的思维过程，要变换角度寻找、 观察题目所独具的基本特征，努力寻找解决问题的最佳方案。 （ 3）反思解题结果，剖析错误原因，深刻理解基本概念和基础知识。
学生在解数学题时，有时会因为审题不明、概念不清、忽视条件、套用相近知识、 考虑不周或计算出错等原因，从而产生这样或那样的错误。所以解题后，必须引导学生 对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。 （ 4）反思解题策略，总结解题规律，掌握数学基本思想方法。
很多数学问题不是孤立的，有其产生的背景，能体现知识间的相互联系。要想真正 减轻学生负担，使学生从题海中解脱出来，教师就必须要有目的地引导学生对所做的习
题进行分析归类总结，既要掌握一类问题基本的解题规律，又要能够分析具体方法中包 含的数学思想方法，以达到举一反三的目的。这样不仅有利于学生掌握基础知识，而且 对当前高考命题中"源于课本，高于课本"的原则也有一定的针对性。
（ 5）反思题目立意，注重拓展推广，培养自主意识和创新精神。
当一道数学题解完以后，如果进一步深入分析题目条件和内涵,探求什么性质不变, 掌握其本质我们就可以将已知的具体题目进行推广。善于进行推广所获得的就不是一道 题的解法，而是一组题、一类题的解法。这有利于培养学生深入研究的习惯，激发他们 的创造精神。