高数 数列 极限 证明

Question

lim （√n）*arctan n
------------------=0
n->∞ 1+n
用定义证明

Answer 1

证明：
当n→∞时，式子满足∞/∞型，故连续使用L'Hospital法则，分子分母同时求导得：原式 → arctann/2√n+√n/(n^2+1) → 2√n/(n^2+1) → 1/(2n√n)
即求原方程的极限转化为求1/(2n√n)的极限。
显然，当n→∞时，lim[1/(2n√n)]=0，所以
lim[(√n)arctann/(1+n)]=0 得证

Answer 2

【极限定义证明】
求证：lim(n->∞) (√n）*arctan n /(n+1) = 0

证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |(√n）*arctan n /(n+1) - 0 |< ε 成立，
只要: |(√n）*arctan n /(n+1) - 0 |< |√n*arctan n /(n+1)|< |√n*arctan n /n|
< |arctan n /√n| < π/2*1/√n <ε ；
即只要： n > (π/2ε)^2 即可 ；

② 故存在 N = [(π/2ε)^2]+1 ∈Z+,

③ 当 n > N 时，

④ 恒有：|(√n）*arctan n /(n+1) - 0 |< ε 成立.

∴ lim(n->∞) (√n）*arctan n /(n+1) = 0

【夹逼定理】
∵ 0< |√n*arctan n /(n+1)|< |√n*arctan n /n| < |arctan n /√n| < π/2*1/√n

∵ lim(n->∞) π/2 * 1/√n = 0 , 由夹逼定理：
∴ lim(n->∞) (√n）*arctan n /(n+1) = 0

Answer 3

lim{n->∞}(√n)*arctann/(1+n)
=lim{n->∞}arctann/[(1/√n)+√n]
=0
arctann是有界变量，1/[(1/√n)+√n]是无穷小量。

Answer 4

（1）易知，lim(arctann)=π/2.(n--->∞).(2)∵对任意正整数n,1/(2√n)＜(√n)/(n+1)＜1/(√n)--->0.∴由“夹逼定理”可知，lim[(√n)/(n+1)]=0.(n--->∞).(3)∵当n-->∞时，limAn=a,limBn=b,则lim(AnBn)=ab.∴lim{(√n)(arctann)/(n+1)}=lim(arctann)×lim[(√n)/(n+1)]=(π/2)×0=0.

Answer 5

其实很简单，由极限乘法性质，有
（√n）*arctan n/（n+1）的极限=π/2*√n/（n+1）的极限
但√n/（n+1）的极限=1/（√n+1/√n）的极限=0
所以原极限等于0