非齐次线性方程组的解是什么？

Question

如题所述

Answer 1

非齐次线性方程组的解，实际上是由两个部分组成的：齐次线性方程组的通解加上非齐次方程组的一个特解。这里的特解η*是对于特定的常数项b（非齐次线性方程Ax=b中的b）的解。所以，非齐次线性方程组Ax=b的求解过程可以分为几个步骤：

首先，通过初等行变换将增广矩阵B（A与b的组合）转化为行阶梯形，如果系数矩阵A的秩小于增广矩阵的秩（R(A) < R(B)），那么方程组无解。

其次，如果秩相等（R(A) = R(B)），则继续将B化为行最简形，这时可以利用r个非零首元来表示r个未知数，剩下的n-r个未知数（自由未知数）通过C1, C2, ..., Cn-r来表示，从而得到含有n-r个参数的通解。

解的存在性与矩阵的秩密切相关：非齐次线性方程组有解的条件是系数矩阵A和增广矩阵(A, b)的秩相等（rank(A) = rank(A, b)）。若秩等于变量个数n，方程组有唯一解；而如果秩小于n，则方程组有无穷多解。

简而言之，非齐次线性方程组的解是由齐次部分的通解加上一个特定的特解构成，其解的性质取决于系数矩阵的秩与增广矩阵秩的关系。