为什么可逆矩阵是满秩的？

Question

如题所述

Answer 1

n阶方阵矩阵可逆，则|A|≠0，即|A|是A的n阶非零子式，所以A的秩是n，即A是满秩阵。

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

扩展资料：

在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，我们称这种矩阵为单位矩阵，简称单位阵。它是个方阵，除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外全都为0。

可用将系数矩阵转化成单位矩阵的方法解线性方程组。

用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A），根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。

参考资料：百度百科——矩阵

Answer 2

你好！n阶可逆矩阵A的行列式|A|不等于0，而|A|是A的n阶子式，而A没有n+1阶子式，所以r(A)=n，即A是满秩的。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

矩阵的秩是用矩阵的不为零的子式的最高阶数定义的，可逆矩阵的行列式就是最高的不为零的子式(是n阶的)，所以是满秩的.

Answer 4