连续是可微的什么条件?

Question

如题所述

Answer 1

函数可微的充分条件是连续的。全微分于某点存在的充分条件是函数在该点的某邻域内存在所有偏导数，并且所有偏导数在此点连续。全微分于某点存在的必要条件是该点处所有方向导数存在。偏导数的存在和连续性是可微的充分条件，但不是必要条件。
对于一元函数，可微必定可导，可导必定可微，这是充要条件。对于多元函数，可微必须偏导数存在，但偏导数的存在并不能推出可微，而是偏导数连续才能推出可微，这就不是充要条件了。
要证明一个函数可微，必须利用定义，即全增量减去（对x的偏导数乘以x的增量）减去（对y的偏导数乘以y的增量）之差是距离的高阶无穷小，才能说明可微。