导函数在x=0连续，但导数不是连续函数。

Question

如题所述

Answer 1

函数为g(x)=x2sin1x,x≠0g(x)=x2sin⁡1x,x≠0

在[0,1][0,1]上定义函数g(x)=x2sin1x,x≠0g(x)=x2sin⁡1x,x≠0

补充定义g(0)=0g(0)=0, 则函数g(x)g(x)为连续函数，图形如下。

导函数可求得g′(x)=2xsin1x−cos1x,x≠0g′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1x,x≠0

并且g′(0)=0g′(0)=0, 所以g′(x)g′(x)在x=0x=0处并不连续。导函数存在但并非RR上连续函数。

设{rn}{rn}为闭区间[0,1][0,1]之间所有的有理数，则函数

f(x)=∑n=0∞12ng(x−rn)f(x)=∑n=0∞12ng(x−rn)

在[0,1][0,1]一致收敛

f′(x)=∑n=0∞12ng′(x−rn)f′(x)=∑n=0∞12ng′(x−rn)

在[0,1][0,1]上的有理数点rnrn上不连续，在[0,1][0,1]上的无理数点连续。

扩展资料：

1.导函数条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。

例如：f(x)=|x|在x=0处虽连续，但不可导（左导数-1，右导数1）

2.单调性：

一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'<0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。

参考资料：百度百科-导函数