一道高一数学例题。
解方程sin5x＝sin4x
解法一：移项并运用三角函数的和差化积公式，得
Sin5x－sin4x=0
2 cos•9x/2 •sin•x/2＝0
cos9x/2＝0 或 sinx/2＝0
由cos9x/2＝0，得9x/2＝2kπ±π/2 (k∈z) 即
X=4/9 kπ±π/9 (k∈z).k
由sinx/2＝0, 得x/2＝kπ (k∈z),即
X=2kπ (k∈z).
所以原方程的解集是
{x|x=4/9 kπ±π/9, (k∈z)} U {x|x=2kπ, (k∈z)} ＝ { x|x=4/9 kπ±π/9,或x=2kπ，k∈z }。
解法二：因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}, 所以原方程可以化成
5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
当k是偶数2n（n∈z）时，上式成为5x=2nπ+4x，由此可得
X=2nπ （n∈z）。
当k是奇数2n+1（n∈z）时，上式成为5x=(2n+1) π－4x，由此可得
9x=(2n+1) π （n∈z），
即
X=1/9(2n+1) π ， （n∈z）.
所以原方程的解集是
{x|x=2nπ , n∈z}∪{x|x=1/9(2n+1) π , （n∈z）}=
{x|x=2nπ ,或X=1/9(2n+1) π ， （n∈z）}。
（该例题的两种解法，虽然得到的解集的表示形式不同，但因为当n是偶数2k时，1/9(2n+1) π成为1/9(4k+1) π；当n是奇数2k－1时，1/9(2n+1) π成为1/9(4k－1) π；所以实质上{x | x=1/9(2n+1) π ， （n∈z）}与{x|x=1/9(4k±1) π, k∈z}是相等的集合。就是说，两种解法所得的解集是相同的。
在第二种解法中，从“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}, 所以原方程可以化成”是怎样化成“ 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
”？就这一步看不明白
烦请高手给以详细解答，在下不胜感激。
我现在思想上有很大疑问。比方说，我们知道sin·5π/6=sin·π/6,然而，能利用“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}”这一说法，将原式“sin·5π/6=sin·π/6”化成5π/6=kπ + (－1) ^k•π/6吗？首先当k=0时，等号两边都不相等。那么，该例题的第二种解法，还能说得过去吗？
我们知道，两个角的正弦值相同，但是，这两个角的大小并不一定相等，等号两边的“sin”符号，也不是随随便便就可以去掉的。有的朋友说，当k=1时，原式 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
成立，是，我要认为成立。可是，例题中的框释为什么表明“(k∈z)”呢？而不直接写明“k=1”呢？