一道数学题

Question

边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程x^2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长。
（需要详细过程，拜托了！）

Answer 1

设其两直角边长是X1,X2,斜边X3,由韦达定理:
X1+X2=-b/a=k+2...(1)
X1X2=c/a=4k...(2)

(1)式两边平方:
X1²+2X1X2+X2²=k²+4k+4,
X3²+8k=k²+4k+4,[X1²+X2²=X3²,X1X2=4k]
X3²=k²-4k+4,
X3²=(k-2)²
X3=±(k-2),
边长为整数,
因为X1+X2=k+2>0,k>-2,常见的最小勾股数X3=5,故X3=k-2,...(3);
(1)-(3):X1+X2-X3=4

常见的勾股数及X1+X2-X3的值:
X1,X2, X3, X1+X2-X3,
3 4 5 2,
5 12 13 4,
6 8 10 4,
7 24 25 6,
8 15 17 6,
...,
因此只有5,12,13及6,8,10满足要求,
即k=X3+2=13+2=15,直角三角形三边之长分别为5,12,13;
或k=X3+2=10+2=12,直角三角形三边之长分别为6,8,10.

Answer 2

由韦达定理得
X1+X2=-b/a=k+2
X1*X2=c/a=4k
X1,X2是对称出现的，不妨设X1≥X2
依题意：X1*X2=4(X1+X2-2),
移项变形：(X1-4)(X2-4)=8，
则X1，X2<4(舍去）,X1-4>0,X2-4>0
X1-4≥X2-4
8=8*1=4*2,
则X1-4=8,X2-4=1 或X1-4=4，X2-4=2
解出：X1=12,X2=5,k=(X1+X2)-2=15,
或X1=8,X2=6,k=14