设u=f(x^2+y^2,z),f具有二阶连续偏导数,而z=(x,y)由函数x+y-z=e^z确定.求u的二阶偏导？

Question

求大神 速度回复

Answer 1

x+y-z=e^z

1-dz/dx=e^z dz/dx
dz/dx=1/(1+e^z)

1-dz/dy=e^z dz/dy
dz/dy=1/(1+e^z)

u=f(w, z), w=x²+y², x+y-z=e^z

∂u/∂x = ∂u/∂w * ∂w/∂x + ∂u/∂z * ∂z/∂x
= 2x ∂u/∂w + 1/(1+e^z) ∂u/∂z
∂u/∂y = ∂u/∂w * ∂w/∂y + ∂u/∂z * ∂z/∂y
= 2y ∂u/∂w + 1/(1+e^z) ∂u/∂z

∂²u/∂x² = 2 ∂u/∂w + 2x ∂²u/∂w² * ∂w/∂x - e^z/(1+e^z)² * ∂z/∂x * ∂u/∂z + 1/(1+e^z) ∂²u/∂z² * ∂z/∂x
= 2 ∂u/∂w + 4x² ∂²u/∂w² - e^z/(1+e^z)³ ∂u/∂z + 1/(1+e^z)² ∂²u/∂z²
∂²u/∂y² = 2 ∂u/∂w + 2y ∂²u/∂w² * ∂w/∂y - e^z/(1+e^z)² * ∂z/∂y * ∂u/∂z + 1/(1+e^z) ∂²u/∂z² * ∂z/∂y
= 2 ∂u/∂w + 4y² ∂²u/∂w² - e^z/(1+e^z)³ ∂u/∂z + 1/(1+e^z)² ∂²u/∂z²
∂²u/∂x∂y = 2x ∂²u/∂w² * ∂w/∂y - e^z/(1+e^z)² * ∂z/∂y * ∂u/∂z + 1/(1+e^z) ∂²u/∂z² * ∂z/∂y
= 4xy ∂²u/∂w² - e^z/(1+e^z)³ ∂u/∂z + 1/(1+e^z)² ∂²u/∂z²